Теңдеудің түбірін табыңыз:
\(\displaystyle \frac{x-8}{7x-2}=\frac{x-8}{6x-7}{\small .}\)
Егер теңдеудің бірнеше түбірі болса, жауапта олардың арасынан үлкенін көрсетіңіз.
Төмендегі рационал теңдеуді шешу үшін
\(\displaystyle \frac{x-8}{7x-2}=\frac{x-8}{6x-7}\)
- теңдеудің барлық мүшелерін сол жаққа көшірейік,
- және ортақ бөлгішке келтірейік.
Ортақ бөлгіш \(\displaystyle (7x-2)(6x-7)\) бөлгіштерінің көбейтіндісіне тең болады. Сонда төмендегіні аламыз:
\(\displaystyle \frac{x-8}{\color{green}{ 7x-2}}-\frac{x-8}{\color{blue}{ 6x-7}}=0{ \small ,}\\ \)
\(\displaystyle \frac{(x-8)\color{blue}{(6x-7)}}{(7x-2)\color{blue}{(6x-7)}}-\frac{(x-8)\color{green}{(7x-2)}}{(6x-7)\color{green}{(7x-2)}}=0{ \small ,}\\ \)
\(\displaystyle \frac{(x-8)\color{blue}{(6x-7)}-(x-8)\color{green}{(7x-2)}}{\color{green}{(7x-2)}\color{blue}{(6x-7)}}=0{ \small .}\)
\(\displaystyle \frac{f(x)}{g(x)}=0\) теңдеуі төмендегі жүйеге тең
\(\displaystyle \begin{cases} f(x)=0{\small , } \\ g(x)\, \cancel{=}\, 0{\small . } \end{cases}\)
Осылайша,
\(\displaystyle \frac{(x-8)(6x-7)-(x-8)(7x-2)}{(7x-2)(6x-7)}=0\)
теңдеуі төмендегі жүйеге тең
\(\displaystyle \begin{cases} (x-8)(6x-7)-(x-8)(7x-2)=0{\small , } \\ (7x-2)(6x-7)\, \cancel{=}\, 0{\small . } \end{cases}\)
- \(\displaystyle (x-8)(6x-7)-(x-8)(7x-2)=0\) теңдеуін шешейік.
\(\displaystyle (x-8)\) жақшаның сыртына шығарамыз:
\(\displaystyle (x-8)\left((6x-7)-(7x-2)\right)=0{\small .}\)
Егер көбейткіштердің кем дегенде біреуі нөлге тең болса, көбейтінді нөлге тең болады. Демек,
немесе \(\displaystyle x-8=0{ \small ,}\) яғни \(\displaystyle x=8{ \small ,}\)
немесе \(\displaystyle (6x-7)-(7x-2)=0{ \small ,}\) яғни
\(\displaystyle 6x-7-7x+2=0{ \small ,}\)
\(\displaystyle -x-5=0{ \small ,}\)
\(\displaystyle x=-5{\small .}\)
- \(\displaystyle (7x-2)(6x-7)\,\cancel{=}\,0\) болатын \(\displaystyle x\) мәндерін табамыз:
\(\displaystyle 7x-2\, \cancel{=}\, 0\) және \(\displaystyle 6x-7\, \cancel{=}\, 0{ \small ,}\)
\(\displaystyle x\, \cancel{=} \, \frac{2}{7}\) және \(\displaystyle x\, \cancel{=}\, \frac{7}{6}{\small .}\)
Төмендегі
\(\displaystyle 8\, \cancel{=} \, \frac{2}{7}{ \small ,}\) \(\displaystyle 8\, \cancel{=}\, \frac{7}{6}{ \small ,}\)
және
\(\displaystyle -5\, \cancel{=} \, \frac{2}{7}{ \small ,}\) \(\displaystyle -5\, \cancel{=}\, \frac{7}{6}{ \small ,}\)
болғандықтан, онда \(\displaystyle x=8\) және \(\displaystyle x=-5\) теңдеудің шешімдері болып табылады.
Жауапта олардың үлкенін жазамыз – бұл \(\displaystyle 8\).
Жауабы: \(\displaystyle 8{\small .}\)