Теңдеуді шешіңіз:
\(\displaystyle \frac{x^2-3x+2}{x^2-7x+6}=2{\small .}\)
Егер бірнеше түбір болса, оларды үтір арқылы енгізіңіз.
Оң жақта нөл қалуы үшін барлық қосылғыштарды сол жаққа көшірейік:
\(\displaystyle \frac{x^2-3x+2}{x^2-7x+6}-2=0{\small .}\)
Теңдеудің сол жағындағы бөлшектерді \(\displaystyle x^2-7x+6\) ортақ бөлгішіне келтірейік. Ол үшін бірлікті бөлгіші \(\displaystyle x^2-7x+6\) болатын бөлшек ретінде көрсетейік:
\(\displaystyle \color{red}{1}=\color{red}{\frac{x^2-7x+6}{x^2-7x+6}}{\small .}\)
Сонда
\(\displaystyle \frac{x^2-3x+2}{x^2-7x+6}-2\cdot \color{red}{1}=\frac{x^2-3x+2}{x^2-7x+6}-2\cdot \color{red}{\frac{x^2-7x+6}{x^2-7x+6}}=\frac{x^2-3x+2-2(\color{red}{x^2-7x+6})}{x^2-7x+6}{\small .}\)
Бастапқы теңдеу келесідей болады:
\(\displaystyle \frac{x^2-3x+2}{x^2-7x+6}-2=0{ \small ,}\)
\(\displaystyle \frac{x^2-3x+2-2(x^2-7x+6)}{x^2-7x+6}=0{ \small ,}\)
\(\displaystyle \frac{x^2-3x+2-2x^2+14x-12}{x^2-7x+6}=0{\small .}\)
Ұқсастарын келтірейік:
\(\displaystyle \frac{\color{green}{x^2}-\color{blue}{3x}+\color{orange}{2}-\color{green}{2x^2}+\color{blue}{14x}-\color{orange}{12}}{x^2-7x+6}=0{\small ,}\)
\(\displaystyle \frac{-\color{green}{x^2}+\color{blue}{11x}-\color{orange}{10}}{x^2-7x+6}=0{\small .}\)
\(\displaystyle \frac{-x^2+11x-10}{x^2-7x+6}=0\) бөлшек-рационал теңдеуін шешу үшін:
- алымының түбірлерін табамыз;
- бөлімін нөлге айналдырмайтын алымының түбірлерін таңдаймыз.
Алымның түбірлерін \(\displaystyle -x^2+11x-10=0\) теңдеуінен табамыз.
\(\displaystyle -x^2+11x-10=0\) квадрат теңдеуінің дискриминанты келесіге тең
\(\displaystyle {\rm D}=11^2-4\cdot (-1)\cdot (-10)=121-40=81=9^2{\small .}\)
Сонда
\(\displaystyle \begin{aligned}x_1&=\frac{-11+\sqrt{81}}{2\cdot (-1)}=\frac{-11+9}{-2}=1{ \small ,}\\x_2&=\frac{-11-\sqrt{81}}{2\cdot (-1)}=\frac{-11-9}{-2}=10{\small .}\\\end{aligned}\)
Табылған түбірлер \(\displaystyle x^2-7x+6\) бөлгішін нөлге айналдырмайтындығын тексерейік. Ол үшін \(\displaystyle x_1=1\) және \(\displaystyle x_2=10\) кезіндегі \(\displaystyle x^2-7x+6\) көпмүшесінің мәнін есептейік. Түбірлер бүтін, сондықтан күрделі есептеулер қажет емес.
\(\displaystyle x^2-7x+6=0\) теңдеуіне \(\displaystyle x=1\) қойып, дұрыс теңдіктің бар-жоғын тексерейік:
\(\displaystyle 1^2-7\cdot 1+6=0{ \small ,}\)
\(\displaystyle 1-7+6=0{ \small ,}\)
\(\displaystyle 0=0{\small .}\)
Дұрыс теңдік алдық. Яғни, \(\displaystyle x=1\) – \(\displaystyle x^2-7x+6=0\) теңдеуінің түбірі.
\(\displaystyle x^2-7x+6=0\) теңдеуіне \(\displaystyle x=10\) қойып, дұрыс теңдіктің бар-жоғын тексерейік:
\(\displaystyle 10^2-7\cdot 10+6=0{ \small ,}\)
\(\displaystyle 100-70+6=0{ \small ,}\)
\(\displaystyle 36\,\cancel{=}\,0{\small .}\)
Бұрыс теңдік алдық. Яғни, \(\displaystyle x=10\) – \(\displaystyle x^2-7x+6=0\) теңдеуінің түбірі емес.
Осылайша, табылған екі түбірдің ішінен тек \(\displaystyle x=10\) бөлімін нөлге айналдырмайды, демек, бұл \(\displaystyle \frac{x^2-3x+2}{x^2-7x+6}=2\) бөлшек-рационал теңдеуінің шешімі болып табылады.
Жауабы: \(\displaystyle x=10{\small .}\)