Поверните устройство

Поверните устройство

Skip to main content

Теория: 04 Рациональные уравнения

Задание

Решите уравнение:

\(\displaystyle \frac{x^2-3x+2}{x^2-7x+6}=2{\small .}\)

Если корней несколько, то введите их через запятую.

Решение

Перенесем все слагаемые в левую часть так, чтобы с правой стороны остался нуль:

\(\displaystyle \frac{x^2-3x+2}{x^2-7x+6}-2=0{\small .}\)

Приведем дроби в левой части уравнения к общему знаменателю \(\displaystyle x^2-7x+6{\small .}\) Для этого представим единицу как дробь со знаменателем \(\displaystyle x^2-7x+6{\small :}\)

\(\displaystyle \color{red}{1}=\color{red}{\frac{x^2-7x+6}{x^2-7x+6}}{\small .}\)

Тогда

\(\displaystyle \frac{x^2-3x+2}{x^2-7x+6}-2\cdot \color{red}{1}=\frac{x^2-3x+2}{x^2-7x+6}-2\cdot \color{red}{\frac{x^2-7x+6}{x^2-7x+6}}=\frac{x^2-3x+2-2(\color{red}{x^2-7x+6})}{x^2-7x+6}{\small .}\)

Исходное уравнение примет вид:

\(\displaystyle \frac{x^2-3x+2}{x^2-7x+6}-2=0{ \small ,}\)

\(\displaystyle \frac{x^2-3x+2-2(x^2-7x+6)}{x^2-7x+6}=0{ \small ,}\)

\(\displaystyle \frac{x^2-3x+2-2x^2+14x-12}{x^2-7x+6}=0{\small .}\)

Приведём подобные:

\(\displaystyle \frac{\color{green}{x^2}-\color{blue}{3x}+\color{orange}{2}-\color{green}{2x^2}+\color{blue}{14x}-\color{orange}{12}}{x^2-7x+6}=0{\small ,}\)

\(\displaystyle \frac{-\color{green}{x^2}+\color{blue}{11x}-\color{orange}{10}}{x^2-7x+6}=0{\small .}\)

Чтобы решить дробно-рациональное уравнение \(\displaystyle \frac{-x^2+11x-10}{x^2-7x+6}=0{ \small :}\)

  1. найдём корни числителя; 
  2. отберём те корни числителя, которые не обращают в нуль знаменатель.

Корни числителя найдём из уравнения \(\displaystyle -x^2+11x-10=0{\small .}\)

\(\displaystyle x_1=1,\ x_2=10\) – корни квадратного уравнения \(\displaystyle -x^2+11x-10=0{\small .}\)

Дискриминант квадратного уравнения \(\displaystyle -x^2+11x-10=0\) равен

\(\displaystyle {\rm D}=11^2-4\cdot (-1)\cdot (-10)=121-40=81=9^2{\small .}\)

Тогда

\(\displaystyle \begin{aligned}x_1&=\frac{-11+\sqrt{81}}{2\cdot (-1)}=\frac{-11+9}{-2}=1{ \small ,}\\x_2&=\frac{-11-\sqrt{81}}{2\cdot (-1)}=\frac{-11-9}{-2}=10{\small .}\\\end{aligned}\)

Проверим, не обращают ли найденные корни в нуль знаменатель \(\displaystyle x^2-7x+6{\small .}\) Для этого вычислим значение многочлена \(\displaystyle x^2-7x+6\) при \(\displaystyle x_1=1\) и \(\displaystyle x_2=10{\small .}\) Корни целые, поэтому громоздких вычислений не потребуется.

\(\displaystyle x_1=1\) – корень знаменателя \(\displaystyle x^2-7x+6=0{\small .}\)

Подставим \(\displaystyle x=1\) в уравнение \(\displaystyle x^2-7x+6=0{ \small ,}\) и проверим, получится ли верное равенство:

\(\displaystyle 1^2-7\cdot 1+6=0{ \small ,}\)

\(\displaystyle 1-7+6=0{ \small ,}\)

\(\displaystyle 0=0{\small .}\)

Получили верное равенство. Значит, \(\displaystyle x=1\) – корень уравнения \(\displaystyle x^2-7x+6=0{\small .}\)

\(\displaystyle x_2=10\) не является корнем знаменателя \(\displaystyle x^2-7x+6=0{\small .}\)

Подставим \(\displaystyle x=10\) в уравнение \(\displaystyle x^2-7x+6=0{ \small ,}\) и проверим, получится ли верное равенство:

\(\displaystyle 10^2-7\cdot 10+6=0{ \small ,}\)

\(\displaystyle 100-70+6=0{ \small ,}\)

\(\displaystyle 36\,\cancel{=}\,0{\small .}\)

Получили неверное равенство. Значит, \(\displaystyle x=10\) не является корнем уравнения \(\displaystyle x^2-7x+6=0{\small .}\)

Таким образом, из найденных двух корней только  \(\displaystyle x=10\)  не обращает в нуль знаменатель, и, значит, является решением дробно-рационального уравнения \(\displaystyle \frac{x^2-3x+2}{x^2-7x+6}=2{\small .}\)

Ответ: \(\displaystyle x=10{\small .}\)