Поверните устройство

Поверните устройство

Skip to main content

Теория: 03 Характеристическое свойство геометрической прогрессии

Задание

Вставьте между числами \(\displaystyle 1\) и \(\displaystyle 9\) отрицательное число \(\displaystyle x\) так, чтобы образовалась геометрическая прогрессия из трех членов.

\(\displaystyle x=\)
-3
Решение

Числа \(\displaystyle 1{ \small ,}\,x\) и \(\displaystyle 9\) должны образовывать геометрическую прогрессию.

Значит, можно считать, что

\(\displaystyle b_1 = 1{ \small ,}\)  \(\displaystyle b_3 = 9{ \small ,}\) а найти требуется \(\displaystyle b_2{\small .}\)

При этом, поскольку по условию задачи \(\displaystyle x \) отрицательно, то считаем \(\displaystyle b_2<0{\small .} \)

Сперва найдем знаменатель прогрессии \(\displaystyle q{\small .}\)

Так как

\(\displaystyle b_3 = b_1 \cdot q^2{ \small ,}\)

то 

\(\displaystyle q^2 = \frac{ b_3}{b_1 }{ \small ,}\)

\(\displaystyle q^2 = \frac{ 9}{ 1 }{ \small ,}\)

\(\displaystyle q^2 = 9{ \small ,}\)

\(\displaystyle q = 3\) или \(\displaystyle q = -3{\small .}\)

Теперь, зная \(\displaystyle q{ \small ,}\) найдем \(\displaystyle b_2{\small .}\) Возможны два случая.

При \(\displaystyle q=3 \) получаем \(\displaystyle b_2=3 \)

При \(\displaystyle q=3 \) получаем:

\(\displaystyle b_2 = b_1 \cdot q{ \small ,}\)

\(\displaystyle b_2 = 1 \cdot 3{ \small ,}\)

\(\displaystyle b_2 = 3{\small .}\)

При \(\displaystyle q=-3 \) получаем \(\displaystyle b_2=-3 \)

При \(\displaystyle q=-3 \) получаем:

\(\displaystyle b_2 = b_1 \cdot q{ \small ,}\)

\(\displaystyle b_2 = 1 \cdot (-3){ \small ,}\)

\(\displaystyle b_2 = -3{\small .}\)

Получили два варианта для \(\displaystyle b_2{\small : } \)

\(\displaystyle b_2 = 3\) или \(\displaystyle b_2 = -3{\small .}\)

Тогда, так как \(\displaystyle b_2<0{ \small ,} \) то \(\displaystyle b_2=-3{\small .} \)

Ответ: \(\displaystyle -3{\small .}\)