Каким должно быть число \(\displaystyle x\), чтобы \(\displaystyle x \) вместе с числами \(\displaystyle -2\) и \(\displaystyle 8\) образовывало геометрическую прогрессию в некотором порядке? Если таких вариантов несколько – запишите в ответ \(\displaystyle d\) сумму различных \(\displaystyle x{\small .} \)
В зависимости от положения \(\displaystyle x \) в прогрессии возможны три случая:
- прогрессия \(\displaystyle x{ \small ,}\,-2{ \small ,}\,8{\small ; } \)
- прогрессия \(\displaystyle -2{ \small ,}\,x{\small , }\,8{ \small ;} \)
- прогрессия \(\displaystyle -2{ \small ,}\,8{ \small ,}\,x{\small . } \)
Рассмотрим по порядку эти случаи, найдя в каждом из них значение \(\displaystyle x{\small .} \)
Запишем элементы этой прогрессии:
\(\displaystyle b_1=x{ \small ,}\,b_2=-2 \) и \(\displaystyle b_3=8 \)
Найдем \(\displaystyle q{ \small ,} \) разделив \(\displaystyle b_3 \) на \(\displaystyle b_2{\small : } \)
\(\displaystyle q= \frac{ 8}{ -2 }=-4{\small .}\)
Тогда
\(\displaystyle b_1=\frac{ b_2}{ q } \) и \(\displaystyle b_1=\frac{ -2}{ -4 }=\frac{ 1}{ 2 } {\small .}\)
Поскольку \(\displaystyle b_1=x{ \small ,} \) то это означает, что \(\displaystyle x=\frac{ 1}{ 2 } {\small .} \)
Запишем элементы этой прогрессии:
\(\displaystyle b_1=-2{ \small ,}\,b_2=x\) и \(\displaystyle b_3=8 \)
Найдем \(\displaystyle q{ \small .} \) Так как \(\displaystyle b_3=b_1\cdot q^2{ \small ,} \) то получаем:
\(\displaystyle 8=(-2)\cdot q^2{ \small ,} \)
\(\displaystyle q^2=-4{ \small .} \)
Поскольку \(\displaystyle q^2 \) всегда больше или равен нулю, то уравнение \(\displaystyle q^2=-4 \) не имеет решений.
Следовательно, прогрессию построить нельзя и подходящих значений \(\displaystyle x \) нет.
Запишем элементы этой прогрессии:
\(\displaystyle b_1=-2{ \small ,}\,b_2=8\) и \(\displaystyle b_3=x\)
Найдем \(\displaystyle q{ \small ,} \) разделив \(\displaystyle b_2 \) на \(\displaystyle b_1{\small : } \)
\(\displaystyle q= \frac{ 8}{ -2 }=-4{\small .}\)
Тогда
\(\displaystyle b_3=b_2\cdot q \) и \(\displaystyle b_3=8\cdot (-4)=-32 {\small .}\)
Поскольку \(\displaystyle b_3=x{ \small ,} \) то это означает, что \(\displaystyle x=-32 {\small .} \)
Таким образом, \(\displaystyle x \) может быть равен \(\displaystyle \frac{ 1}{ 2 } \) или \(\displaystyle -32{\small .} \)
В ответ запишем сумму различных найденных решений:
\(\displaystyle \frac{ 1}{ 2 }+(-32)=-31{,}5{\small .} \)
Ответ: \(\displaystyle -31{,}5{\small .} \)
В случае, если \(\displaystyle -2\) и \(\displaystyle 8\) в прогрессии идут в другом порядке, получаем те же значения \(\displaystyle x{\small :}\)
- в прогрессии \(\displaystyle x{ \small ,}\,8{ \small ,}\,-2\) получится \(\displaystyle x=-32 {\small ;} \)
- в прогрессии \(\displaystyle 8{ \small ,}\,x{\small , }\,-2 \) подходящих значений \(\displaystyle x \) нет;
- в прогрессии \(\displaystyle 8{ \small ,}\,-2{ \small ,}\,x \) получится \(\displaystyle x=\frac{ 1}{ 2 }{\small .} \)