Поверните устройство

Поверните устройство

Skip to main content

Теория: 03 Характеристическое свойство геометрической прогрессии

Задание

Дана геометрическая прогрессия: \(\displaystyle b_1{ \small ,}\, b_2{ \small ,}\, b_3{ \small ,}\, b_4{ \small ,}\, …\)

Какой член прогрессии должен стоять справа, чтобы выполнялось верное равенство?

\(\displaystyle b_{16} \cdot b_{18}=\Big(\)
b_{17}
\(\displaystyle \Big)^2\)
Решение

Запишем \(\displaystyle b_{16} \) и \(\displaystyle b_{18} \) через \(\displaystyle b_1 \) и \(\displaystyle q{\small .} \) Тогда

\(\displaystyle b_{16} = b_1\cdot q^{15}\) и \(\displaystyle b_{18} = b_1\cdot q^{17}{\small .}\)

Перемножая эти равенства, получаем:

\(\displaystyle b_{16}\cdot b_{18} = (b_1\cdot q^{15})\cdot (b_1\cdot q^{17})=b_1\cdot q^{15}\cdot b_1\cdot q^{17}=b_1^2\cdot q^{32}{\small .}\)

Перепишем полученное произведение в виде квадрата:

\(\displaystyle b_1^2\cdot q^{32}=(b_1\cdot q^{16})^2{\small .}\)

По формуле для n-го члена

\(\displaystyle b_1\cdot q^{16}=b_{17}{\small .} \)

Значит,

\(\displaystyle b_{16}\cdot b_{18}=b_{17}^2{\small .} \)

Ответ: \(\displaystyle b_{16}\cdot b_{18}=b_{17}^2{\small .} \)