Поверните устройство

Поверните устройство

Skip to main content

Теория: Введение в метод интервалов

Задание

Для данного неравенства 

\(\displaystyle -\frac{(x+3)^6 x^5}{x^7(x+3)^2} >0\)

укажите знаки, принимаемые выражением на промежутках.

Решение

Обозначим \(\displaystyle f(x)=-\frac{(x+3)^6 x^5}{x^7(x+3)^2}{\small .} \) Определим знаки функции \(\displaystyle f(x) \) на соответствующих интервалах.

Для нахождения знака функции на интервале возьмем произвольное значение переменной из этого интервала и подставим его в функцию.

Сопоставим по порядку для функции \(\displaystyle f(x)=-\frac{(x+3)^6 x^5}{x^7(x+3)^2}\) данные интервалы и значение переменной из этого интервала.

ИнтервалЧисло из интервалаЗначение функции на интервале
\(\displaystyle (-\infty;-3) \)\(\displaystyle x=-4\)\(\displaystyle f(-4) \)
\(\displaystyle (-3;0) \)\(\displaystyle x=-2\)\(\displaystyle f(-2) \)
\(\displaystyle (0;+\infty) \)\(\displaystyle x=1\)\(\displaystyle f(1) \)

Далее определим знак функции на интервалах.

\(\displaystyle f(-4)<0 \)

Найдем значение функции \(\displaystyle f(-4).\)

\(\displaystyle f(\color{red}{ x})=-\frac{(\color{red}{ x}+3)^6 \color{red}{ x}^5}{\color{red}{ x}^7(\color{red}{ x}+3)^2}{ \small .} \)

Подставляем \(\displaystyle \color{red}{ x}=-4{\small : }\)

\(\displaystyle f(\color{red}{ -4})=-\frac{(\color{red}{ -4}+3)^6 \color{red}{ (-4)}^5}{\color{red}{ (-4)}^7(\color{red}{ -4}+3)^2}{ \small ,} \)

\(\displaystyle f(-4)=-\frac{ 1}{ 16 }{\small .} \)

Значит, \(\displaystyle f(-4)<0{\small .} \)

Следовательно, на интервале \(\displaystyle (-\infty;-3) \) функция отрицательна и пишем знак \(\displaystyle -{\small : }\)

\(\displaystyle f(-2)<0\)

Найдем значение функции \(\displaystyle f(-2).\)

\(\displaystyle f(\color{red}{ x})=-\frac{(\color{red}{ x}+3)^6 \color{red}{ x}^5}{\color{red}{ x}^7(\color{red}{ x}+3)^2}{ \small .} \)

Подставляем \(\displaystyle \color{red}{ x}=-2{\small : }\)

\(\displaystyle f(\color{red}{ -2})=-\frac{(\color{red}{ -2}+3)^6 \color{red}{ (-2)}^5}{\color{red}{ (-2)}^7(\color{red}{ -2}+3)^2}{ \small ,} \)

\(\displaystyle f(-2)=-\frac{ 1}{ 4}{\small .} \)

Значит, \(\displaystyle f(-2)<0{\small .} \)

Следовательно, на интервале \(\displaystyle (-3;0) \) функция отрицательна и мы пишем знак \(\displaystyle -{\small : }\)

\(\displaystyle f(1)<0 \)

Найдем значение функции \(\displaystyle f(1).\)

\(\displaystyle f(\color{red}{ x})=-\frac{(\color{red}{ x}+3)^6 \color{red}{ x}^5}{\color{red}{ x}^7(\color{red}{ x}+3)^2}{ \small .} \)

Подставляем \(\displaystyle \color{red}{ x}=1{\small : }\)

\(\displaystyle f(\color{red}{ 1})=-\frac{(\color{red}{ 1}+3)^6 \color{red}{ 1}^5}{\color{red}{ 1}^7(\color{red}{ 1}+3)^2}{ \small ,} \)

\(\displaystyle f(1)=-4^4{\small .} \)

Значит, \(\displaystyle f(1)<0{\small .} \)

Следовательно, на интервале \(\displaystyle (0;+\infty) \)  функция отрицательна и мы пишем знак \(\displaystyle -{\small : }\)

Таким образом,