Сан түзуіндегі нүктелер үшін дұрыс белгілер мен белгілерді таңдаңыз теңсіздікті аралық әдісімен шешкенде:
\(\displaystyle \frac{(3-x)(x-1)^3}{(x-1)(x-3)} \le 0{\small .}\)
\(\displaystyle (3-x)(x-1)^3 \) алымының және \(\displaystyle (x-1)(x-3){\small } \) бөлгішінің түбірлерін табайық
\(\displaystyle (3-x)(x-1)^3=0 \) немесе \(\displaystyle (x-1)(x-3)=0{ \small ,} \)
\(\displaystyle 3-x=0\) немесе \(\displaystyle (x-1)^3=0 \) немесе \(\displaystyle x-1=0\) немесе \(\displaystyle x-3=0{ \small ,} \)
\(\displaystyle x-3=0\) немесе \(\displaystyle x-1=0{ \small ,} \)
\(\displaystyle x=3\) немесе \(\displaystyle x=1{\small .} \)
Теңсіздік белгісі қатаң емес болғандықтан
- Бөлгіштің жойылмайтын барлық нөлдері толтырылған деп белгіленеді;
- Бөлгіштің барлық нөлдері әрқашан түсірілген деп белгіленеді.
\(\displaystyle x=1\) және \(\displaystyle x=3\) бөлгішті нөлге айналдыратындықтан, олар түсірілген деп белгіленеді. Біз алып жатырмыз:
Бізде үш аралық бар:
\(\displaystyle (-\infty;1){ \small ,} \, (1;3)\) және \(\displaystyle (3;+\infty){\small .}\)
Функцияның \(\displaystyle f(x)=\frac{(3-x)(x-1)^3}{(x-1)(x-3)}\) аралықтардың әрқайсысында таңбасын анықтаңыз.Ол үшін функцияның мәнін есептеңіз функциясы \(\displaystyle f(x)=\frac{(3-x)(x-1)^3}{(x-1)(x-3)}\) аралықтағы ерікті нүктеде.
\(\displaystyle (-\infty;1)\) аралығына \(\displaystyle x=0 \in (-\infty;1){\small }\) \(\displaystyle x=0{ \small } \) нүктесіндегі функция мәнінің таңбасын анықтаймыз
\(\displaystyle f(0)=\frac{(3-0)(0-1)^3}{(0-1)(0-3)}<0{\small .}\)
\(\displaystyle (-\infty;1){\small }\) аралықта минус белгісін жазамыз.
\(\displaystyle (1;3)\) аралық үшін \(\displaystyle x=2 \in (1;3){\small }\) \(\displaystyle x=2 { \small }\) нүктесіндегі функция мәнінің таңбасын анықтаймыз.
\(\displaystyle f(2)=\frac{(3-2)(2-1)^3}{(2-1)(2-3)}<0{\small .}\)
\(\displaystyle (1;3){\small }\) аралықта минус белгісін жазамыз.
\(\displaystyle (3;+\infty)\) аралық үшін \(\displaystyle x=4 \in (3;+\infty){\small }\) таңдаңыз \(\displaystyle x=4 { \small }\) нүктедегі функция мәнінің таңбасын анықтаңыз
\(\displaystyle f(4)=\frac{(3-4)(4-1)^3}{(4-1)(4-3)}<0{\small .}\)
\(\displaystyle (3;+\infty){\small }\) аралықта минус белгісін жазамыз.
Осылайша \(\displaystyle (-\infty;1){ \small ,} \, (1;3)\) және \(\displaystyle (3;+\infty){\small }\) аралықтарында келесі белгілерді алдық.
