Поверните устройство

Поверните устройство

Skip to main content

Теория: Точки и знаки в методе интервалов

Задание

Расставьте знаки на интервалах, соответствующие данной модели.

\(\displaystyle (x-3)^4(x-5)^6\geqslant 0\)
\(\displaystyle \frac{(x-3)^5(x-5)^3}{(x-3)^3}\leqslant 0\)
\(\displaystyle \frac{(x-3)(x-5)^3}{(x-5)^5}\geqslant 0\)
\(\displaystyle \frac{(x-3)^3(x-5)^2}{(x-3)(x-5)^4}\leqslant 0\)

 

Решение

Сопоставим каждому неравенству модель.

Неравенство \(\displaystyle (x-3)^4(x-5)^6\geqslant 0 \)

Посмотрим на рисунок:

 

Имеем три интервала:

\(\displaystyle (-\infty;3){ \small ,} \, (3;5)\) и \(\displaystyle (5;+\infty){\small .}\)


Определим знак функции \(\displaystyle f(x)=(x-3)^4(x-5)^6\) на каждом из интервалов. Для этого вычислим значение функции \(\displaystyle f(x)=(x-3)^4(x-5)^6\) в произвольно выбранной точке интервала.

Для интервала \(\displaystyle (-\infty;3)\) выберем \(\displaystyle x=0 \in (-\infty;3){\small .}\) Тогда для интервала \(\displaystyle (-\infty;3) \) функция \(\displaystyle f(x)=(x-3)^4(x-5)^6\) положительна:

\(\displaystyle f(0)=(0-3)^4(0-5)^6>0{\small .}\)

Для интервала \(\displaystyle (3;5)\) выберем \(\displaystyle x=4\in (3;5){\small .}\) Тогда для интервала \(\displaystyle (3;5) \) функция \(\displaystyle f(x)=(x-3)^4(x-5)^6\) положительна:

\(\displaystyle f(4)=(4-3)^4(4-5)^6>0{\small .}\)

Для интервала \(\displaystyle (5;+\infty)\) выберем \(\displaystyle x=6\in (5;+\infty){\small .}\) Тогда для интервала \(\displaystyle (5;+\infty)\) функция \(\displaystyle f(x)=(x-3)^4(x-5)^6\) положительна:

\(\displaystyle f(6)=(6-3)^4(6-5)^6>0{\small .}\)


Таким образом, получили следующие знаки на интервалах \(\displaystyle (-\infty;3){ \small ,} \, (3;5)\) и \(\displaystyle (5;+\infty){\small :}\)

Неравенство \(\displaystyle \frac{(x-3)^5(x-5)^3}{(x-3)^3}\leqslant 0 \)

Неравенство \(\displaystyle \frac{(x-3)(x-5)^3}{(x-5)^5}\geqslant 0 \)

Неравенство \(\displaystyle \frac{(x-3)^3(x-5)^2}{(x-3)(x-5)^4}\leqslant 0 \)