Алым \(\displaystyle x^2-7x+12 \) мен бөлгіштің \(\displaystyle (x-1)(x-2){\small } \) түбірлерін табыңыз.

• \(\displaystyle x^2-7x+12=0{\small } \) теңдеуін шешіңіз.

•  \(\displaystyle (x-1)(x-2)=0{\small } \) теңдеуін шешіңіз.

\(\displaystyle x-1=0\) немесе \(\displaystyle x-2=0{\small ,} \)

\(\displaystyle x=1\) немесе \(\displaystyle x=2{\small .} \)

Теңсіздік белгісі қатаң емес болғандықтан

• Бөлгіштің жойылмайтын барлық нөлдері толтырылған деп белгіленеді;
• Бөлгіштің барлық нөлдері әрқашан түсірілген деп белгіленеді.

 \(\displaystyle x=3\) және \(\displaystyle x=4\) алымды жоғалтатындықтан және бөлгішті жоғалтпайтындықтан, олар көлеңкеленген \(\displaystyle x=1 \) және  \(\displaystyle x=2 \) екеуі де бөлгішті жоғалтатындықтан, олар түсірілген деп белгіленеді:

Бізде бес аралық бар:

\(\displaystyle (-\infty;1){ \small ,} \, (1;2){ \small ,} \, (2;3) { \small ,} \, (3;4)\) және  \(\displaystyle (4;+\infty){\small .}\)

Әрбір аралық бойынша \(\displaystyle f(x)=\frac{x^2-7x+12}{(x-1)(x-2)}\) функциясының таңбасын анықтайық.

Белгілерді табу кезінде есептеулерді жеңілдету үшін біз бөлшектің алымын табылған түбірлерді пайдаланып көбейткіштерге бөлеміз.

Яғни

\(\displaystyle x^2-7x+12=(x-3)(x-4){\small .}\)

Бастапқы теңсіздікті пішінде қайта жазайық

\(\displaystyle \frac{(x-3)(x-4)}{(x-1)(x-2)}\geqslant 0{\small .} \)

Әрбір аралық бойынша \(\displaystyle f(x)=\frac{(x-3)(x-4)}{(x-1)(x-2)}\) функциясының таңбасын анықтайық.

•  \(\displaystyle (-\infty;1)\) аралық үшін \(\displaystyle x=0{\small :}\) 
  \(\displaystyle f(0)=\frac{(0-3)(0-4)}{(0-1)(0-2)}=\frac{-3\cdot(-4)}{-1\cdot(-2)}>0{\small .}\)
  таңдаңыз \(\displaystyle (-\infty;1){\small }\) аралықта қосу таңбасын жазамыз
•  \(\displaystyle (1;2)\) аралық үшін \(\displaystyle x=1{,}5{\small :}\) 

  \(\displaystyle f(1{,}5)=\frac{(1{,}5-3)(1{,}5-4)}{(1{,}5-1)(1{,}5-2)}=\frac{-1{,}5\cdot(-2{,}5)}{0{,}5\cdot(-0{,}5)}<0{\small .}\)

  таңдаңыз \(\displaystyle (1;2){\small }\) аралықта азайту таңбасын жазамыз 
•  \(\displaystyle (2;3)\) аралық үшін \(\displaystyle x=2{,}5{\small :}\) 

  \(\displaystyle f(2{,}5)=\frac{(2{,}5-3)(2{,}5-4)}{(2{,}5-1)(2{,}5-2)}=\frac{-0{,}5\cdot(-1{,}5)}{1{,}5\cdot0{,}5}>0{\small .}\)

  таңдаңыз \(\displaystyle (2;3){\small }\) аралықта қосу таңбасын жазамыз
•  \(\displaystyle (3;4)\) аралық үшін \(\displaystyle x=3{,}5{\small :}\) 

  \(\displaystyle f(3{,}5)=\frac{(3{,}5-3)(3{,}5-4)}{(3{,}5-1)(3{,}5-2)}=\frac{0{,}5\cdot(-0{,}5)}{2{,}5\cdot1{,}5}<0{\small .}\)

  таңдаңыз \(\displaystyle (3;4){\small }\) аралықта азайту таңбасын жазамыз 
•  \(\displaystyle (4;+\infty)\) аралық үшін \(\displaystyle x=5{\small :}\) 

  \(\displaystyle f(5)=\frac{(5-3)(5-4)}{(5-1)(5-2)}=\frac{2\cdot1}{4\cdot3}>0{\small .}\)

  таңдаңыз \(\displaystyle (4;+\infty){\small }\) аралықта қосу таңбасын жазамыз

Нәтижесінде біз аламыз:

 \(\displaystyle \frac{(x-3)(x-4)}{(x-1)(x-2)}\geqslant 0\) теңсіздігінің шешімдері функция оң болатын және шекаралық түсірілмеген нүктелерді қамтитын аралықтарға сәйкес болғандықтан, онда

\(\displaystyle (-\infty;1)\cup (2;3]\cup[4;+\infty)\) – қажетті шешім.

Жауабы: \(\displaystyle x \in (-\infty;1)\cup (2;3]\cup[4;+\infty){\small .}\)