Алым \(\displaystyle x^2-4x+4 \) мен бөлгіштің \(\displaystyle x^2-6x+9{\small } \) түбірлерін табыңыз.

•  \(\displaystyle x^2-4x+4=0{\small } \) теңдеуін шешіңіз.

•  \(\displaystyle x^2-6x+9=0{\small } \) теңдеуін шешіңіз.

Теңсіздік белгісі қатаң емес болғандықтан

• Бөлгіштің жойылмайтын барлық нөлдері толтырылған деп белгіленеді;
• Бөлгіштің барлық нөлдері әрқашан түсірілген деп белгіленеді.

 \(\displaystyle x=2 \) алымы жойылады және бөлгіш жойылмайды, сондықтан ол көлеңкелі деп белгіленеді \(\displaystyle x=3\)  бөлгіш жойылатындықтан, ол түсірілген деп белгіленеді:

Бізде үш аралық бар:

\(\displaystyle (-\infty;2){ \small ,} \, (2;3)\) және \(\displaystyle (3;+\infty){\small .}\)

Функцияның \(\displaystyle f(x)=\frac{x^2-4x+4}{x^2-6x+9}\) әрбір аралықтағы таңбасын анықтайық.

Белгілерді табу кезінде есептеулерді жеңілдету үшін біз бөлшектің алымын табылған түбірлерді пайдаланып көбейткіштерге бөлеміз.

Яғни 

\(\displaystyle x^2-4x+4=(x-2)(x-2)=(x-2)^2{ \small ,}\)

\(\displaystyle x^2-6x+9=(x-3)(x-3)=(x-3)^2{\small .}\)

Бастапқы теңсіздікті пішінде қайта жазайық

\(\displaystyle \frac{(x-2)^2}{(x-3)^2}\geqslant 0{\small .} \)

Әрбір аралық бойынша \(\displaystyle f(x)=\frac{(x-2)^2}{(x-3)^2}\) функциясының таңбасын анықтайық.
 

•  \(\displaystyle (-\infty;2)\) аралық үшін \(\displaystyle x=0{\small :}\) 
  \(\displaystyle f(0)=\frac{(0-2)^2}{(0-3)^2}>0{\small .}\)
   \(\displaystyle (-\infty;2){\small }\) аралықта қосу таңбасын жазамыз
  
   
•  \(\displaystyle (2;3)\) аралық үшін \(\displaystyle x=2{,}5{\small :}\) 
  \(\displaystyle f(2{,}5)=\frac{(2{,}5-2)^2}{(2{,}5-3)^2}>0{\small .}\)
   \(\displaystyle (2;3){\small }\) аралықта қосу таңбасын жазамыз
  
   
•  \(\displaystyle (3;+\infty)\) аралық үшін \(\displaystyle x=5{\small :}\) 
  \(\displaystyle f(5)=\frac{(5-2)^2}{(5-3)^2}>0{\small .}\)
   \(\displaystyle (3;+\infty){\small }\) аралықта қосу таңбасын жазамыз
   

Нәтижесінде біз аламыз:

 \(\displaystyle \frac{(x-2)^2}{(x-3)^2}\geqslant 0\) теңсіздігінің шешімдері функция оң болатын және шекаралық түсірілмеген нүктелерді қамтитын аралықтарға сәйкес болғандықтан, онда

\(\displaystyle (-\infty;3)\cup(3;+\infty)\) – қажетті шешім.

Жауабы: \(\displaystyle x \in (-\infty;3)\cup(3;+\infty){\small .}\)