Алым \(\displaystyle x^2-4x+3 \) мен бөлгіштің \(\displaystyle x-4{\small } \) түбірлерін табыңыз.

•  \(\displaystyle x^2-4x+3=0{\small } \) теңдеуін шешіңіз.

•  \(\displaystyle x-4=0{\small } \) теңдеуін шешіңіз.

\(\displaystyle x=4{\small.} \)

Теңсіздік белгісі қатаң емес болғандықтан

• Бөлгіштің жойылмайтын барлық нөлдері толтырылған деп белгіленеді;
• Бөлгіштің барлық нөлдері әрқашан түсірілген деп белгіленеді.

 \(\displaystyle x=1\) және  \(\displaystyle x=3 \) оалымды жоғалтатындықтан және бөлгішті жоғалтпайтындықтан, олар көлеңкеленген болып көрсетіледі \(\displaystyle x=4 \)  бөлгіш жойылатындықтан, ол түсіру арқылы белгіленеді:

Бізде төрт интервал бар:

\(\displaystyle (-\infty;1){ \small ,} \, (1;3){ \small ,} \, (3;4)\) және  \(\displaystyle (4;+\infty){\small .}\)

Әрбір аралық бойынша \(\displaystyle f(x)=\frac{x^2-4x+3}{x-4}\) функциясының таңбасын анықтайық.

Белгілерді табу кезінде есептеулерді жеңілдету үшін біз бөлшектің алымын табылған түбірлерді пайдаланып көбейткіштерге бөлеміз.

Яғни 

\(\displaystyle x^2-4x+3=(x-1)(x-3).\)

Бастапқы теңсіздікті пішінде қайта жазайық

\(\displaystyle \frac{(x-1)(x-3)}{x-4}\geqslant 0{\small .} \)

Әрбір аралық бойынша \(\displaystyle f(x)=\frac{(x-1)(x-3)}{x-4}\) функциясының таңбасын анықтайық.
 

•  \(\displaystyle (-\infty;1)\) аралық үшін \(\displaystyle x=0{\small :}\) 
  \(\displaystyle f(0)=\frac{(0-1)(0-3)}{0-4}=\frac{-1\cdot(-3)}{-4}<0{\small .}\)
  таңдаймыз \(\displaystyle (-\infty;1){\small }\) аралықта азайту таңбасын жазамыз
   
•  \(\displaystyle (1;3)\) аралық үшін \(\displaystyle x=2{\small :}\) 

  \(\displaystyle f(2)=\frac{(2-1)(2-3)}{2-4}=\frac{1\cdot(-1)}{-2}>0{\small .}\)

  таңдаймыз \(\displaystyle (1;3){\small }\) аралықта қосу таңбасын жазамыз
•  \(\displaystyle (3;4)\) аралық үшін \(\displaystyle x=3{,}5{\small :}\) 

  \(\displaystyle f(3{,}5)=\frac{(3{,}5-1)(3{,}5-3)}{3{,}5-4}=\frac{2{,}5\cdot0{,}5}{-0{,}5}<0{\small .}\)

  таңдаймыз \(\displaystyle (3;4){\small }\) аралықта азайту таңбасын жазамыз
   
•  \(\displaystyle (4;+\infty)\) аралық үшін \(\displaystyle x=5{\small :}\) 

  \(\displaystyle f(5)=\frac{(5-1)(5-3)}{5-4}=\frac{4\cdot2}{1}>0{\small .}\)

  таңдаймыз \(\displaystyle (4;+\infty){\small }\) аралықта қосу таңбасын жазамыз

Нәтижесінде біз аламыз:

 \(\displaystyle \frac{(x-1)(x-3)}{x-4}\geqslant 0\) теңсіздігінің шешімдері функция оң болатын және шекаралық түсірілмеген нүктелерді қамтитын аралықтарға сәйкес болғандықтан, онда

\(\displaystyle [1;3]\cup (4;+\infty)\) – қажетті шешім.

Жауабы: \(\displaystyle x \in [1;3]\cup (4;+\infty){\small .}\)