\(\displaystyle 2\sin\left (x+\frac{\pi}{3} \right)+\cos(2x)=\sqrt{3}\cos(x)+1\) теңдеу \(\displaystyle \sin(x)=0\) немесе \(\displaystyle \sin(x)=\frac{1}{2}{\small }\) екі теңдеуге тең,
\(\displaystyle \sin(x)=0\) теңдеуінің шешімдері:
\(\displaystyle x_1=2\pi n\ , \, n\in \mathbb{Z} \) және \(\displaystyle x_2=\pi+2\pi n\ , \, n\in \mathbb{Z} {\small .}\)
\(\displaystyle \sin(x)=0\) теңдеуінің түбірлерін \(\displaystyle \left[-3\pi;\, -\frac{3\pi}{2}\right]{\small}\) аралықтан тандаңыз.
\(\displaystyle x_1=-3\pi\)
\(\displaystyle x_2=-2\pi\)
\(\displaystyle \left[-3\pi;\, -\frac{3\pi}{2}\right]{\small }\) кесіндіден түбірлерді таңдаймыз.
Біз \(\displaystyle n\) бүтін мәндерді іздейміз
\(\displaystyle -3\pi\leqslant x_1 \leqslant -\frac{3\pi}{2}{ \small .}\)
Яғни
\(\displaystyle -3\pi\leqslant 2\pi n\leqslant -\frac{3\pi}{2}{ \small .}\)
Теңсіздікті \(\displaystyle \pi{\small}\) оң санға бөлейік:
\(\displaystyle -3\leqslant 2n\leqslant -\frac{3}{2}{\small .}\)
\(\displaystyle n{ \small }\) белгілеу үшін теңсіздіктерді \(\displaystyle 2{\small }\) бөлеміз:
\(\displaystyle -\frac{3}{2}\leqslant n \leqslant -\frac{3}{4}{ \small .}\)
Бұл аралықтағы жалғыз бүтін сан \(\displaystyle -1,\) яғни \(\displaystyle n=-1{\small .}\)
\(\displaystyle n=-1\) ауыстыру арқылы \(\displaystyle 2\pi n{ \small ,}\) аламыз:
\(\displaystyle 2\pi \cdot (-1)=-2\pi{\small .}\)
Біз \(\displaystyle n\) бүтін мәндерді іздейміз
\(\displaystyle -3\pi\leqslant x_2 \leqslant -\frac{3\pi}{2}{ \small .}\)
Яғни
\(\displaystyle -3\pi\leqslant \pi+2\pi n\leqslant- \frac{3\pi}{2}{ \small .}\)
Теңсіздікті \(\displaystyle \pi{\small}\) оң санға бөлейік:
\(\displaystyle -3\leqslant 1+2n\leqslant -\frac{3}{2}{\small .}\)
Әр бөліктен \(\displaystyle 1{\small}\) алып тастаймыз:
\(\displaystyle -3-1\leqslant 1+2n- 1\leqslant -\frac{3}{2}-1{ \small ,}\)
\(\displaystyle -4\leqslant 2n \leqslant -\frac{5}{2}{ \small .}\)
\(\displaystyle n{ \small}\) белгілеу үшін теңсіздіктерді \(\displaystyle 2{\small }\) бөлеміз:
\(\displaystyle -2\leqslant n \leqslant -\frac{5}{4}{ \small .}\)
Бұл аралықтағы жалғыз бүтін сан \(\displaystyle -2{\small,}\) яғни \(\displaystyle n=-2{\small .}\)
\(\displaystyle n=-2\) ауыстыру арқылы \(\displaystyle \pi+2\pi n{ \small ,}\) аламыз:
\(\displaystyle \pi+2\pi \cdot (-2)=-3\pi{\small .}\)
Осылайша, \(\displaystyle \sin(x)=0\) теңдеуі \(\displaystyle \left[-3\pi;\, -\frac{3\pi}{2}\right]\) кесіндісінде \(\displaystyle -3\pi\) және \(\displaystyle -2\pi{\small}\) шешімдері бар.
Жауабы: \(\displaystyle -3\pi\) және \(\displaystyle -2\pi{\small .}\)