\(\displaystyle 2\sin\left (x+\frac{\pi}{3} \right)+\cos(2x)=\sqrt{3}\cos(x)+1\) теңдеу
\(\displaystyle \sin(x)=0\) немесе \(\displaystyle \sin(x)=\frac{1}{2}{\small}\) екі теңдеуге тең.
\(\displaystyle \sin(x)=\frac{1}{2}\) теңдеуінің шешімдері:
\(\displaystyle x_1=\frac{\pi}{6}+2\pi n, \, n\in \mathbb{Z}\) және \(\displaystyle x_2=\frac{5\pi}{6}+2\pi n, \, n\in \mathbb{Z}{ \small .}\)
\(\displaystyle \sin(x)=\frac{1}{2}\) теңдеуінің түбірлерін \(\displaystyle \left[-3\pi;\, -\frac{3\pi}{2}\right]{\small}\) аралықтан таңданыз.
\(\displaystyle x_1=-\frac{11\pi}{6}\)
\(\displaystyle \left[-3\pi;\, -\frac{3\pi}{2}\right]{\small}\) кесіндіден түбірлерді таңдаймыз.
Біз \(\displaystyle n\) бүтін мәндерді іздейміз
\(\displaystyle -3\pi\leqslant x_1 \leqslant -\frac{3\pi}{2}{ \small .}\)
Яғни
\(\displaystyle -3\pi\leqslant \frac{\pi}{6}+2\pi n \leqslant -\frac{3\pi}{2}{ \small .}\)
Теңсіздікті \(\displaystyle \pi{\small }\) оң санға бөлейік:
\(\displaystyle -3\leqslant \frac{1}{6}+2n\leqslant -\frac{3}{2}{\small .}\)
Әр бөліктен \(\displaystyle \frac{1}{6}{\small}\) алып тастаймыз:
\(\displaystyle -3- \frac{1}{6}\leqslant \frac{1}{6}+2n- \frac{1}{6}\leqslant -\frac{3}{2}- \frac{1}{6}{ \small ,}\)
\(\displaystyle -\frac{19}{6}\leqslant2n \leqslant -\frac{5}{3}{ \small .}\)
\(\displaystyle n{ \small}\) белгілеу үшін теңсіздіктерді \(\displaystyle 2{\small}\) бөлеміз:
\(\displaystyle -\frac{19}{12}\leqslant n \leqslant -\frac{5}{6}{ \small .}\)
Бұл аралықтағы жалғыз бүтін сан \(\displaystyle -1{\small,}\) яғни \(\displaystyle n=-1{\small .}\)
\(\displaystyle n=-1\) ауыстыру арқылы \(\displaystyle \frac{\pi}{6}+2\pi n{ \small ,}\) аламыз:
\(\displaystyle \frac{\pi}{6}+2\pi \cdot (-1)=-\frac{11\pi}{6}{\small .}\)
Біз \(\displaystyle n\) бүтін мәндерді іздейміз
\(\displaystyle -3\pi\leqslant x_2 \leqslant -\frac{3\pi}{2}{ \small .}\)
Яғни
\(\displaystyle -3\pi\leqslant \frac{5\pi}{6}+2\pi n \leqslant -\frac{3\pi}{2}{ \small .}\)
Теңсіздікті \(\displaystyle \pi{\small}\) оң санға бөлейік
\(\displaystyle -3\leqslant \frac{5}{6}+2n\le -\frac{3}{2}{\small .}\)
Әр бөліктен \(\displaystyle \frac{5}{6}{\small}\) алып тастаймыз:
\(\displaystyle -3- \frac{5}{6}\leqslant \frac{5}{6}+2n - \frac{5}{6}\leqslant -\frac{3}{2}- \frac{5}{6}{ \small ,}\)
\(\displaystyle -\frac{23}{6}\leqslant2n \leqslant -\frac{7}{3}{ \small .}\)
\(\displaystyle n{ \small}\) белгілеу үшін теңсіздіктерді \(\displaystyle 2{\small }\) бөлеміз:
\(\displaystyle -\frac{23}{12}\leqslant n \leqslant -\frac{7}{6}{ \small .}\)
Бұл аралықта бүтін сандар ЖОҚ.
Осылайша, \(\displaystyle \sin(x)=\frac{1 }{2}\) теңдеуі \(\displaystyle \left[-3\pi;\, -\frac{3\pi}{2}\right]\) кесіндісінде \(\displaystyle -\frac{11\pi}{6}{\small}\) шешімі бар.
Жауабы: \(\displaystyle -\frac{11\pi}{6}{\small .}\)