Теңсіздікті шешіңіз
\(\displaystyle \frac{1}{3^x-1} + \frac{9^{x+\frac{1}{2}}-3^{x+3}+3}{3^x-9}\geqslant 3^{x+1}\)
\(\displaystyle {{\dfrac{1}{3^x-1} + \dfrac{9^{x+\frac{1}{2}}-3^{x+3}+3}{3^x-9}\geqslant 3^{x+1}}}\)
Келесі теңсіздікті аламыз:
\(\displaystyle \dfrac{1}{3^x-1} + \dfrac{3\cdot3^{2x}-27\cdot3^{x}+3}{3^x-9}\geqslant 3\cdot 3^{x}{\small .}\)
Бізге \(\displaystyle 3\) негізге \(\displaystyle 9^{(x+\frac{1}{2})}{\small ,}\,3^{x+3}\) және \(\displaystyle 3^{x+1}{\small }\) дәрежелерін келтіру керек.
\(\displaystyle 9\) -ды \(\displaystyle 3 {\small }\) дәрежесі ретінде көрсетейік және дәреже қасиеттерін қолданайық:
\(\displaystyle 9^{(x+\frac{1}{2})}=(3^{2})^{(x+\frac{1}{2})}=3^{2x+1}=3^{2x}\cdot 3^1=3\cdot 3^{2x}{\small ,}\)
\(\displaystyle 3^{x+3}=3^{x}\cdot3^3=27\cdot3^{x}{\small ,}\)
\(\displaystyle 3^{x+1}=3^{x}\cdot3^1=3\cdot3^{x}{\small .}\)
Алынған өрнектерді бастапқы теңсіздікке қойайық.
Келесіні аламыз:
\(\displaystyle \dfrac{1}{3^x-1} + \dfrac{3\cdot3^{2x}-27\cdot3^{x}+3}{3^x-9}\geqslant 3\cdot 3^{x}{\small .}\)
Келесі теңсіздікті аламыз:
\(\displaystyle \dfrac{1}{t-1} + \dfrac{3t^2-27t+3}{t-9} \geqslant 3t{\small .}\)
Айнымалы тек \(\displaystyle 3{\small .}\)
\(\displaystyle t=3^x{\small }\) негізі бар дәреже көрсеткіштерінде болады
\(\displaystyle 3^{2x}=(3^x)^2=t^2{\small }\) айнымалысын алмастырайық
Бөлшек-рационал теңсіздікті аламыз:
\(\displaystyle \dfrac{1}{t-1} + \dfrac{3t^2-27t+3}{t-9} \geqslant 3t{\small .}\)
III. Алынған теңсіздікті интервал әдісімен шешейік.
1. Теңсіздіктің оң жақ бөлігінде нөлді аламыз. \(\displaystyle \dfrac{1}{t-1} + \dfrac{3t^2-27t+3}{t-9} -3t\geqslant 0{\small .}\)
\(\displaystyle \frac{t-3}{(t-1)(t-9)}\geqslant 0{\small .}\\\) 3. \(\displaystyle t-3\) алымы мен \(\displaystyle (t-1)(t-9){\small }\) бөлімінің нөлдерін тауып, сандық оське нүктелерді орналастырамыз.
Алымының нөлі: \(\displaystyle t=3{\small .}\) Бөлімінің нөлі: \(\displaystyle t=1\) және \(\displaystyle t=9{\small .}\) Теңсіздік қатаң емес болғандықтан, онда
Себебі \(\displaystyle t=3 \) алымды нөлге айналдыратын және бөлгішті нөлге айналдырмайтын болғандықтан, онда \(\displaystyle t=3\) боялған нүктемен белгіленеді. \(\displaystyle t=1\) және \(\displaystyle t=9\) бөлгішті нөлге айналдыратындықтан, онда олар тесілген нүктелермен белгіленеді:
Төрт интервал алдық: \(\displaystyle (-\infty;1){ \small ,} \, (1;3){ \small ,} \ (3;9)\) және \(\displaystyle (9;+\infty){\small .}\) 4. Белгілерді орналастырайық. Әр интервалдағы \(\displaystyle f(x)= \frac{t-3}{(t-1)(t-9)}\) функциясының белгісін анықтайық.\(\displaystyle \\\)
\(\displaystyle \frac{t-3}{(t-1)(t-9)}\geqslant 0{\small }\) теңсіздігінің шешімдері функция оң мәндерді қабылдайтын және бөлінбеген шекаралық нүктелерді қосатын аралықтарға сәйкес келеді. Сонда теңсіздік келесіде орындалады
\(\displaystyle \color{Blue}{1<t\leqslant 3{\small}}\) немесе \(\displaystyle \color{Blue}{t>9{\small.}}\) |
IV. Ескі айнымалыға оралайық.
\(\displaystyle x{\small }\) айнымалысына оралайық. Бізде \(\displaystyle t=3^x{\small .}\)
Сонда:
\(\displaystyle \color{Blue}{1<3^x\leqslant 3}\) немесе \(\displaystyle \color{Blue}{3^x>9{\small.}}\)
Әрбір теңсіздікті шешейік.
Бастапқы теңсіздіктің шешімі табылған аралықтарды біріктіру болып табылады:
\(\displaystyle \color{Blue}{(0;1]\cup(2;+\infty){\small .}}\)
Жауабы: \(\displaystyle x \in (0;1]\cup(2;+\infty){\small .}\)