\(\displaystyle a^2-20a-96\leqslant 0{\small }\)  теңсіздігін шешейік

Төмендегі теңдеуді шешейік

\(\displaystyle a^2-20a-96= 0{\small .}\)

Дискриминантты есептейік:

\(\displaystyle {\rm D}= (-20)^2-4\cdot 1\cdot (-96)=400+384=784\)
және
\(\displaystyle \sqrt{\rm D}=\sqrt{784}=28{\small .} \)

Теңдеудің түбірлерін табайық:

\(\displaystyle a_1= \frac{-(-20)-28}{2\cdot 1}=\frac{-8}{2}=-4{ \small ,}\)

\(\displaystyle a_2=\frac{-(-20)+28}{2\cdot 1}=\frac{48}{2}=24{\small .}\)

Сандық осьте теңдеудің түбірлеріне сәйкес келетін нүктелерді белгілеп, алынған үш интервалдың әрқайсысында \(\displaystyle f(a)=a^2-20a-96\) функциясының белгілерін анықтаймыз.

  \(\displaystyle a^2-20a-96\leqslant 0\) теңсіздігінің шешімдері  \(\displaystyle f(a)=a^2-20a-96\) функциясының мәндері теріс немесе нөлге тең болатын аралықтарға сәйкес келеді.

Сонда теңсіздік келесі жағдайларда орындалады

\(\displaystyle {-4\leqslant a \leqslant 24{\small .}}\)

\(\displaystyle x\) айнымалысы негіздері   \(\displaystyle 2\) және \(\displaystyle 4{\small }\) болатын дәреже көрсеткіштерінде боладыболатын дәреже көрсеткіштерінде болады

 \(\displaystyle 4^x={(2^2)}^x={(2^x)}^2\) қолданамыз және 

Алынған қос теңсіздікте  \(\displaystyle t=2^x{\small }\) алмасыруды жүзеге асырайық:

\(\displaystyle -4\leqslant t^2-5\cdot t \leqslant 24{\small .}\)

Берілген теңсіздікті қос теңсіздік жүйесі түрінде жазайық:

\(\displaystyle \left\{\begin{array}{rl}t^2-5t& \leqslant \,24{\small ,}\\[7px]t^2-5t&\geqslant -4{\small ;}\\\end{array}\right.\)

\(\displaystyle \left\{\begin{array}{rl}t^2-5t-24& \leqslant \, 0{\small ,}\\[7px]t^2-5t+4&\geqslant\, 0{\small .}\\\end{array}\right.\)

 \(\displaystyle t^2-5t-24\leqslant 0{\small }\) теңсіздігін интервал әдісімен шешейік.

Төмендегі теңдеуді шешейік

\(\displaystyle t^2-5t-24= 0{\small .}\)

Дискриминантты есептейік:

\(\displaystyle {\rm D}= (-5)^2-4\cdot 1\cdot (-24)=25+96=121\)
және
\(\displaystyle \sqrt{\rm D}=\sqrt{121}=1{\small .} \)

Теңдеудің түбірлерін табайық:

\(\displaystyle a_1= \frac{-(-5)-11}{2\cdot 1}=\frac{-6}{2}=-3{ \small ,}\)

\(\displaystyle a_2=\frac{-(-5)+11}{2\cdot 1}=\frac{16}{2}=8{\small .}\)

Сандық осьте теңдеудің түбірлеріне сәйкес келетін нүктелерді белгілеп, алынған үш интервалдың әрқайсысында \\(\displaystyle f(t)=t^2-5t-24\) функциясының белгілерін анықтаймыз.

  \(\displaystyle t^2-5t-24\leqslant 0\) теңсіздігінің шешімдері  \(\displaystyle f(t)=t^2-5t-24\) функциясының мәндері теріс немесе нөлге тең болатын аралықтарға сәйкес келеді.

Сонда теңсіздік келесі жағдайларда орындалады

\(\displaystyle -3\leqslant t\leqslant 8{\small .}\)

 \(\displaystyle t^2-5t+4\geqslant 0{\small }\) теңсіздігін шешейік

Төмендегі теңдеуді шешейік

\(\displaystyle t^2-5t+4= 0{\small .}\)

Дискриминантты есептейік:

\(\displaystyle {\rm D}= (-5)^2-4\cdot 1\cdot 4=25-16=9\)
және
\(\displaystyle \sqrt{\rm D}=\sqrt{9}=3{\small .} \)

Теңдеудің түбірлерін табайық:

\(\displaystyle a_1= \frac{-(-5)-3}{2\cdot 1}=\frac{2}{2}=1{ \small ,}\)

\(\displaystyle a_2=\frac{-(-5)+3}{2\cdot 1}=\frac{8}{2}=4{\small .}\)

Сандық осьте теңдеудің түбірлеріне сәйкес келетін нүктелерді белгілеп, алынған үш интервалдың әрқайсысында \\(\displaystyle f(t)=t^2-5t+4\) функциясының белгілерін анықтаймыз.

  \(\displaystyle t^2-5t+4\geqslant 0\) теңсіздігінің шешімдері \(\displaystyle f(t)=t^2-5t+4\) функциясының мәндері оң немесе нөлге тең болатын аралықтарға сәйкес келеді.

Сонда теңсіздік келесі жағдайларда орындалады

\(\displaystyle -\infty< t\leqslant 1{\small ;} \,\,\,\, 4 \leqslant t < +\infty{\small .}\)

Сандық осьте шешімді бейнелейік

• бірінші  \(\displaystyle t^2-5t-24\leqslant 0{\small }\) теңсіздігі,
• екінші \(\displaystyle t^2-5t+4\geqslant 0{\small }\) теңсіздігі.

Белгіленген аралықтардың қиылысын табайық: 

\(\displaystyle {-3\leqslant t\leqslant 1}{\small;}\) \(\displaystyle {4\leqslant t\leqslant 8{\small.}}\) 

Қос теңсіздікті теңсіздіктер жүйесі түрінде жазайық:

\(\displaystyle \left\{\begin{array}{rcl}2^x& \geqslant-3,\\[5px]2^x& \leqslant \,1.\\\end{array}\right.\)

Жүйенің әрбір теңсіздігін шешіп, алынған шешімдер жиынының қиылысын табамыз.

• Бірінші теңсіздікті шешейік: \(\displaystyle 2^x \geqslant-3{\small .}\)

 \(\displaystyle y=2^x\) көрсеткіштік функциясы тек оң мәндерді қабылдайды, сондықтан \(\displaystyle {2^x \geqslant-3}{\small}\) теңсіздігі \(\displaystyle x{\small }\) айнымалысының кез-келген нақты мәндерінде орындалады

Яғни, бірінші теңсіздіктің шешімі  \(\displaystyle (-\infty;+\infty){\small }\) аралығы болып табылады

• Екінші теңсіздікті шешейік: \(\displaystyle 2^x \leqslant 1{\small .}\)

\(\displaystyle 2^x \leqslant 1\Leftrightarrow 2^x \leqslant 2^0{\small .}\)

Дәреженің негізі \(\displaystyle 2>1{\small,}\) болғандықтан, теңсіздіктерге көшкен кезде көрсеткіштерде теңсіздік белгілері өзгермейді.

Төмендегіні аламыз: \(\displaystyle x \leqslant 0{\small. } \)

Яғни, бұл теңсіздіктің шешімі  \(\displaystyle (-\infty;0]{\small }\) аралық болып табылады

• Алынған  \(\displaystyle (-\infty;+\infty)\) және \(\displaystyle (-\infty;0]\) аралықтарының қиылысы \(\displaystyle (-\infty;0]{\small }\) болып табылады

Қос теңсіздікті теңсіздіктер жүйесі түрінде жазайық:

\(\displaystyle \left\{\begin{array}{rcl}2^x& \geqslant4,\\[5px]2^x& \leqslant \,8.\\\end{array}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{rcl}2^x& \geqslant2^2,\\[5px]2^x& \leqslant \,2^3.\\\end{array}\right.\)

Дәреженің негізі \(\displaystyle 2>1{\small,}\) болғандықтан, теңсіздіктерге көшкен кезде көрсеткіштерде теңсіздік белгілері өзгермейді.

Төмендегіні аламыз: 

\(\displaystyle\left\{\begin{array}{rcl}x& \geqslant2,\\[5px]x& \leqslant \,3.\\\end{array}\right.\)

Яғни, берілген қос теңсіздіктің шешімі  \(\displaystyle [2;3]{\small }\) аралығы болып табылады