Поверните устройство

Поверните устройство

Skip to main content

Теория: 07 \(\displaystyle \left( 4^x-5\cdot 2^x \right)^2-20\left( 4^x-5\cdot 2^x \right) -96\leqslant 0\)

Задание

Решите неравенство

\(\displaystyle \left( 4^x-5\cdot 2^x \right)^2-20\left( 4^x-5\cdot 2^x \right) -96\leqslant 0{\small .}\)

Решение

\(\displaystyle \left( 4^x-5\cdot 2^x \right)^2-20\left( 4^x-5\cdot 2^x \right) -96\leqslant 0{\small .}\)


В левой части неравенства содержится выражение \(\displaystyle 4^x-5\cdot 2^x \) и его квадрат.

I. Сделаем замену переменной

\(\displaystyle \color{#336699}{a= 4^x-5\cdot 2^x {\small .}}\) 

Получим квадратное неравенство:

\(\displaystyle \color{#336699}{a^2-20a-96\leqslant 0{\small .}}\) 

II. Решим полученное неравенство методом интервалов.

Получим:

\(\displaystyle \color{#336699}{-4\leqslant a \leqslant 24{\small .}}\)

III. Вернёмся к старой переменной.

У нас \(\displaystyle {a=4^x-5\cdot 2^x {\small .}}\) 

Тогда

\(\displaystyle -4\leqslant 4^x-5\cdot 2^x \leqslant 24{\small .}\)

IV. Сделаем замену переменной \(\displaystyle \color{#336699}{t=2^x{\small .}}\)

Получим систему неравенств:

\(\displaystyle \color{#336699}{\left\{\begin{array}{rl}t^2-5t-24& \leqslant \, 0{\small ,}\\t^2-5t+4&\geqslant\, 0{\small .}\\\end{array}\right.}\)

V. Решим полученную систему.

Решим каждое неравенство системы, потом найдём пересечение полученных множеств решений.

 Решение неравенства \(\displaystyle t^2-5t-24\leqslant 0{\small :}\)

\(\displaystyle -3\leqslant t\leqslant 8\) 

Решение неравенства \(\displaystyle t^2-5t+4\geqslant 0{\small :}\)

\(\displaystyle -\infty< t\leqslant 1{\small ;} \,\,\,\, 4 \leqslant t < +\infty\)

Решение системы неравенств

\(\displaystyle {-3\leqslant t\leqslant 1}{\small;}\) \(\displaystyle {4\leqslant t\leqslant 8{\small.}}\) 

VI. Вернёмся к старой переменной.

Вернёмся к переменной \(\displaystyle x{\small .}\) У нас \(\displaystyle t=2^x{\small .}\)

Тогда:

\(\displaystyle \color{Blue}{-3\leqslant 2^x\leqslant 1}\) или \(\displaystyle \color{Blue}{4\leqslant 2^x\leqslant 8{\small.}}\)

Решим каждое неравенство. 

Решением неравенства \(\displaystyle \color{Blue}{-3\leqslant2^x\leqslant 1}\) является промежуток \(\displaystyle \color{Blue}{(-\infty;0] {\small .}}\)

Запишем двойное неравенство в виде системы неравенств:

\(\displaystyle \left\{\begin{array}{rcl}2^x& \geqslant-3,\\[5px]2^x& \leqslant \,1.\\\end{array}\right.\)

Решим каждое неравенство системы и найдём пересечение полученных множеств решений.

  • Решим первое неравенство: \(\displaystyle 2^x \geqslant-3{\small .}\)

Показательная функция \(\displaystyle y=2^x\) принимает только положительные значения, поэтому неравенство \(\displaystyle {2^x \geqslant-3}{\small}\) выполняется при любых действительных значениях переменной \(\displaystyle x{\small .}\)

То есть, решением первого неравенства является промежуток \(\displaystyle (-\infty;+\infty){\small .}\)
 

  • Решим второе неравенство: \(\displaystyle 2^x \leqslant 1{\small .}\)

\(\displaystyle 2^x \leqslant 1\Leftrightarrow 2^x \leqslant 2^0{\small .}\)

Так как основание степени \(\displaystyle 2>1{\small,}\) то при переходе к неравенству на показатели знак неравенства не изменится.

Получим: \(\displaystyle x \leqslant 0{\small. } \)

То есть, решением данного неравенства является промежуток \(\displaystyle (-\infty;0]{\small .}\)
 

  • Пересечением полученных промежутков \(\displaystyle (-\infty;+\infty)\) и \(\displaystyle (-\infty;0]\) является \(\displaystyle (-\infty;0]{\small .}\)

Решением неравенства \(\displaystyle \color{Blue}{4\leqslant2^x\leqslant 8}\) является промежуток \(\displaystyle \color{Blue}{[2;3] {\small .}}\)

Запишем двойное неравенство в виде системы неравенств:

\(\displaystyle \left\{\begin{array}{rcl}2^x& \geqslant4,\\[5px]2^x& \leqslant \,8.\\\end{array}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{rcl}2^x& \geqslant2^2,\\[5px]2^x& \leqslant \,2^3.\\\end{array}\right.\)

Так как основание степени \(\displaystyle 2>1{\small,}\) то при переходе к неравенствам на показатели знаки неравенств не изменятся.

Получим: 

\(\displaystyle\left\{\begin{array}{rcl}x& \geqslant2,\\[5px]x& \leqslant \,3.\\\end{array}\right.\)

То есть, решением данного двойного неравенства является промежуток \(\displaystyle [2;3]{\small .}\)

Решением исходного неравенства является объединение найденных промежутков: 

\(\displaystyle \color{Blue}{(-\infty ;0] \cup [2;3]{\small. }} \)

Ответ: \(\displaystyle x\in (-\infty ;0]{\small } \cup [2;3]{\small. } \)