Поверните устройство

Поверните устройство

Skip to main content

Теория: 08 \(\displaystyle 3 \cdot 45^x-3 \cdot 27^x -28 \cdot 15^x - 28 \cdot 9^x +9 \cdot 5^x-3^{x+2}\leqslant 0\)

Задание

Решите неравенство

\(\displaystyle (5^x- 3^{x})({3 \cdot 3^{2x} -28\cdot3^x +9) \leqslant 0}{\small .}\)

обобщённым методом интервалов.

Решение

\(\displaystyle (5^x- 3^{x})({3 \cdot 3^{2x} -28\cdot3^x +9) \leqslant 0}{\small .}\)

1. Найдём область определения неравенства.

Исходное неравенство определено на всей числовой прямой.

2. Найдем корни уравнения, соответствующего неравенству.

\(\displaystyle (5^x- 3^{x})({3 \cdot 3^{2x} -28\cdot3^x +9) = 0}{\small .}\)

Тогда

\(\displaystyle 5^x- 3^{x} = 0{\small }\) или \(\displaystyle 3 \cdot 3^{2x} -28\cdot3^x +9 = 0{\small .}\)

Корни уравнения \(\displaystyle 5^x- 3^{x} = 0{\small }{\small :}\) \(\displaystyle x=0{\small .}\)

Корни уравнения \(\displaystyle 3 \cdot 3^{2x} -28\cdot3^x +9 = 0{\small }{\small :}\) \(\displaystyle x=-1{\small ,}\) \(\displaystyle x=2{\small .}\)

Итак, уравнение \(\displaystyle (5^x- 3^{x})({3 \cdot 3^{2x} -28\cdot3^x +9) = 0}{\small }\) имеет три различных корня:

\(\displaystyle x=0{\small ,}\) \(\displaystyle x ={-1}{\small }\) и \(\displaystyle x=2{\small.}\)

3. Изобразим область определения неравенства и разобьём её на интервалы найденными корнями. 

Рассмотрим функцию 

\(\displaystyle f(x)=(5^x- 3^{x})(3 \cdot 3^{2x} -28\cdot3^x +9){\small .}\)

Она определена на всей числовой прямой, обращается  в ноль в точках \(\displaystyle x=0{\small ,}\) \(\displaystyle x ={-1}{\small }\) и \(\displaystyle x=2{\small.}\)

Нули функции разбивают область определения функции на четыре интервала:

\(\displaystyle (-\infty;-1){ \small ,} \, (-1;0){ \small ,} \, (0;2){ \small ,} \ (2;+\infty){\small .}\)


4. Определим знак функции \(\displaystyle f(x)=(5^x- 3^{x})(3 \cdot 3^{2x} -28\cdot3^x +9)\) на каждом из интервалов.\(\displaystyle \\\)

5. Запишем ответ.

Решения неравенства 

\(\displaystyle (5^x- 3^{x})({3 \cdot 3^{2x} -28\cdot3^x +9) \leqslant 0}{\small }\)

соответствуют промежуткам, где функция принимает отрицательные значения и включают невыколотые граничные точки. 

Тогда неравенство выполняется при 

\(\displaystyle x \in (-\infty;-1]\cup[0;2]{\small .}\)

Ответ: \(\displaystyle x \in (-\infty;-1]\cup[0;2]{\small .}\)