Дана система линейных уравнений:

\(\displaystyle \left\{ \begin{aligned} 5x+3y=&25{\small ,}\\ 3x-8y=&-34{\small .} \end{aligned} \right. \)

Для того чтобы воспользоваться методом подстановки, надо выразить одну из переменных через другую.

Используем первое уравнение системы, чтобы выразить переменную \(\displaystyle x\) через \(\displaystyle y\,{\small :}\)

\(\displaystyle \begin{array}{c} 5x+3y=25{\small ,}\\ 5x=-3y+25{\small ,}\\ x=-\frac{3}{5}y+5 {\small .}\end{array}\)

Далее, в исходной системе

\(\displaystyle \left\{ \begin{aligned} \color{blue}{5x+3y=}&\color{blue}{25}{\small ,}\\ 3x-8y=&-34 \end{aligned} \right. \)

заменим первое уравнение \(\displaystyle \color{blue}{5x+3y=25}\) на \(\displaystyle \color{green}{x=-\frac{3}{5}y+5}{\small .}\) Тогда

\(\displaystyle \left\{ \begin{aligned} &\color{green}{x=-{\small \frac{3}{5}}y+5}{\small ,}\\ &3x-8y=-34{\small .} \end{aligned} \right. \)

Теперь, так как известно, что  \(\displaystyle \color{green}{x=-\frac{3}{5}y+5}{\small ,}\) во втором линейном уравнении можно вместо \(\displaystyle \color{green}{x}\) подставить \(\displaystyle \color{green}{-\frac{3}{5}y+5}\) (метод подстановки):

\(\displaystyle \begin{array}{rl} \left\{ \vphantom{\begin{aligned} 1\\ {\small \frac{5}{3}} \end{aligned}} \right.&\kern{-1.5em} \begin{aligned} &\color{green}{x=-{\small \frac{3}{5}}y+5}{\small ,}\\ &3\cdot \left(\color{green}{-{\small \frac{3}{5}}y+5}\right)-8y=-34 {\small .}\end{aligned} \end{array}\)

Получаем систему, в которой второе уравнение – это линейное уравнение от одной переменной \(\displaystyle y\,{\small :}\)

\(\displaystyle 3\cdot \left(-\frac{3}{5}y+5\right)-8y=-34{\small .}\)

Решим его, чтобы найти \(\displaystyle y\,{\small:}\)

\(\displaystyle \begin{array}{c} 3\cdot \left(-\frac{3}{5}y+5\right)-8y=-34{\small ,}\\[10px] -\left(3\cdot \frac{3}{5}\right)y+3\cdot 5-8y=-34{\small ,}\\[10px] -\frac{9}{5}y+15-8y=-34{\small ,}\\[10px] -\frac{9}{5}y-8y=-15-34{\small ,}\\[10px] -\frac{49}{5}y=-49{\small ,}\\ y=5 {\small .}\end{array}\)

Далее в системе

\(\displaystyle \begin{array}{rl} \left\{ \vphantom{\begin{aligned} 1\\ {\small \frac{5}{3}} \end{aligned}} \right.&\kern{-1.5em} \begin{aligned} &x=-{\small \frac{3}{5}}y+5{\small ,}\\ &\color{blue}{3\cdot \left(-{\small \frac{3}{5}}y+5\right)-8y=-34} \end{aligned} \end{array}\)

второе линейное уравнение \(\displaystyle \color{blue}{3\cdot \left(-\frac{3}{5}y+5\right)-8y=-34}\) заменяем на \(\displaystyle \color{green}{y=5}{\small ,}\) получаем:

\(\displaystyle \left\{ \begin{aligned} &x=-{\small \frac{3}{5}}y+5{\small ,}\\ &\color{green}{y=5}{\small .} \end{aligned} \right. \)

Снова применим метод подстановки – в первое уравнение системы вместо \(\displaystyle y\) подставим число \(\displaystyle {\bf 5}{\small .}\) Получаем:

\(\displaystyle \left\{ \begin{aligned} &x=-{\small \frac{3}{5}}\cdot 5+5{\small ,}\\ &y=5 \end{aligned} \right. \)

или

\(\displaystyle \left\{ \begin{aligned} &x=2{\small ,}\\ &y=5 {\small .}\end{aligned} \right. \)

Ответ: \(\displaystyle x=2{\small ,}\;y=5{\small .}\)