"Қосынды квадраты" формуласының геометриялық дәлелі:
Қосынды квадраты
Кез келген оң \(\displaystyle a,\, b\) сандары үшін келесі тепе-теңдік дұрыс:
\(\displaystyle (a+b\,)^{\, 2}=a^{\, 2}+2ab+b^{\, 2}.\)
\(\displaystyle a\) және \(\displaystyle b\) – оң сандар болғандықтан, онда біз \(\displaystyle a+b\) тең болатын қабырғасы бар шаршы құра аламыз (мысалы, сантиметр):
Берілген шаршының ауданы \(\displaystyle (a+b)^2\) тең (шаршы сантиметр).
Квадраттың әр жағын суретте көрсетілгендей ұзындығы \(\displaystyle a\) және \(\displaystyle b\) болатын екі бөлікке бөлейік:
Қабырғасы \(\displaystyle a+b\) болатын шаршы келесілерден тұрады:
1) қабырғасы \(\displaystyle a\) болатын шаршы,
2) қабырғасы \(\displaystyle b\) болатын шаршы,
3) қабырғалары \(\displaystyle a\) және \(\displaystyle b\) болатын екі тіктөртбұрыш.
Сондықтан қабырғасы \(\displaystyle a+b\) болатын шаршының ауданы қабырғасы \(\displaystyle a\) болатын шаршының, қабырғасы \(\displaystyle b\) болатын шаршының және қабырғалары \(\displaystyle a\) және \(\displaystyle b\) болатын екі тіктөртбұрыштың аудандарының қосындысына тең:
Үлкен шаршының ауданы оны құрайтын фигуралардың аудандарының қосындысына тең.
Фигуралардың әрқайсысының ауданын табайық.
Қабырғасы \(\displaystyle a\) болатын шаршының ауданы \(\displaystyle a^{\,2}\) тең:
 | \(\displaystyle =a^{\,2}\) |
Қабырғалары \(\displaystyle a\) және \(\displaystyle b\) болатын тіктөртбұрыштың ауданы \(\displaystyle a\cdot b\) тең:
 | \(\displaystyle =a\cdot b\) |
 | \(\displaystyle =a\cdot b\) |
Қабырғасы \(\displaystyle b\) болатын шаршының ауданы \(\displaystyle b^{\,2}\) тең:
 | \(\displaystyle =b^{\,2}\) |
Қабырғасы \(\displaystyle a+b\) болатын шаршының ауданын екі жолмен табайық – анықтама бойынша және оны құрайтын фигуралардың аудандарының қосындысы ретінде.
| \(\displaystyle (a+b\,)^2=\) |
|
| \(\displaystyle =a^{\,2 }+\underbrace{a\cdot b+a\cdot b}_{2ab}+b^{\,2}=a^{\,2}+2ab+b^{\,2}.\) |
Осылайша, біз келесі формуланы алдық:
\(\displaystyle (\pmb{a}+\pmb{b}\,)^2=\pmb{a}^{\,2}+2ab+\pmb{b}^{\,2}.\)