Айырманың квадратын табыңыз:
\(\displaystyle (6s\,)^2-84st+49t^{\,2}=\big(\)\(\displaystyle \big)^2\)
Бірінші тәсіл.
Бізге \(\displaystyle (6s\,)^2-84st+49t^{\,2}\) өрнегі айырманың толық квадраты екені белгілі.
Айырма квадраты
Кез келген \(\displaystyle a, \, b\) сандары үшін төмендегілер тең
\(\displaystyle a^{\, 2}-2ab+b^{\, 2}=(a-b\,)^2.\)
Алдымен \(\displaystyle 49t^{\,2}=7^2t^{\,2}=(7t\,)^2\) екендігін ескерейік.
Әрі қарай \(\displaystyle 84st\) екі еселенген көбейтінді түрінде жазайық:
\(\displaystyle 84st=2\cdot 6s \cdot 7t.\)
Енді біз айырма квадратының формуласы айқын көрінетіндей етіп өрнегімізді қайта жаза аламыз:
\(\displaystyle (6s\,)^2-84st+49t^{\,2}=(6s\,)^2-2\cdot 6s \cdot 7t+(7t\,)^2.\)
Бұдан біздің өрнек \(\displaystyle a=6s\) және \(\displaystyle b=7t\) айырма квадратымен дәл сәйкес келетіндігін көруге болады:
\(\displaystyle (6s\,)^2-2\cdot 6s \cdot 7t+(7t\,)^2=(6s-7t\,)^2.\)
Осылайша,
\(\displaystyle (6s\,)^2-84st+49t^{\,2}=(6s-7t\,)^2.\)
Жауабы: \(\displaystyle (6s-7t\,)^2.\)
Екінші тәсіл (квадраттар бойынша айырма квадратын табу).
Бізге \(\displaystyle (6s\,)^2-84st+49t^{\,2}\) өрнегі айырманың толық квадраты екені белгілі.
Айырма квадраты
Кез келген \(\displaystyle a, \, b\) сандары үшін төмендегілер тең
\(\displaystyle a^{\, 2}-2ab+b^{\, 2}=(a-b\,)^2.\)
Демек, табу керек кейбір \(\displaystyle a\) және \(\displaystyle b\) үшін
\(\displaystyle (6s\,)^2-84st+49t^{\,2}=a^{\, 2}-2ab+b^{\, 2}\)
\(\displaystyle 49t^{\,2}=7^2t^{\,2}=(7t\,)^2\) екендігін ескерейік және сондықтан
\(\displaystyle (6s\,)^2-84st+49t^{\,2}=(6s\,)^2-84st+(7t\,)^2.\)
Екінші дәрежелі өрнектерді теңестіреміз. Мысалы,
\(\displaystyle \color{blue}{a^{\, 2}}-2ab+\color{green}{b^{\, 2}}=\color{blue}{(6s\,)^2}-84st+\color{green}{(7t\,)^2},\)
\(\displaystyle \color{blue}{a^{\,2}}=\color{blue}{(6s\,)^2}\) және \(\displaystyle \color{green}{b^{\,2}}=\color{green}{(7t\,)^2}.\)
Сонда \(\displaystyle a\) \(\displaystyle 6s\) немесе \(\displaystyle -6s,\) \(\displaystyle b\) \(\displaystyle 7t\) немесе \(\displaystyle -7t\) болуы мүмкін (тиісті дәлелді қараңыз).
Таңбалары бірдей, мысалы, «+» таңбасы бар \(\displaystyle a\) және \(\displaystyle b\) параметрлерінің мәндерін таңдайық:
\(\displaystyle a=6s,\)
\(\displaystyle b=7t.\)
Біз квадраттарды теңестіргендіктен, міндетті түрде екі еселенген көбейтінділердің \(\displaystyle a\) орнына \(\displaystyle 6s\) өрнегін, ал \(\displaystyle b\) орнына \(\displaystyle 6s\) өрнегін ауыстырған кезде сәйкес келетіндігін тексеру қажет
\(\displaystyle a^{\, 2}-\color{red}{2ab}+b^{\, 2}=(6s\,)^2-\color{red}{84st}+(7t\,)^2,\)
\(\displaystyle 2ab\overset{?}{=}84st\)
Алмастыра отырып, келесіні аламыз:
\(\displaystyle 2ab=2\cdot 6s\cdot 7t,\)
\(\displaystyle 2ab=84st.\)
Біз дұрыс теңдікті алдық, бұл \(\displaystyle a=6s\) және \(\displaystyle b=7t\) теңдіктерінің дұрыстығын білдіреді.
\(\displaystyle (6s\,)^2-84st+49t^{\,2}=a^{\, 2}-2ab+b^{\, 2},\)
\(\displaystyle (6s\,)^2-84st+49t^{\,2}=(a-b\,)^2\) болғандықтан,
онда, оң жақтағы жақшаға \(\displaystyle a=6s\) және \(\displaystyle b=7t\) алмастыра отырып, келесіні аламыз:
\(\displaystyle (6s\,)^2-84st+49t^{\,2}=(6s-7t\,)^2.\)
Жауабы: \(\displaystyle (6s-7t\,)^2.\)