Айырманың квадратын табыңыз:
\(\displaystyle 49u^{\,2}-28uw+4w^{\, 2}=\big(\)\(\displaystyle \big)^2\)
Бірінші тәсіл.
Бізге \(\displaystyle 49u^{\,2}-28uw+4w^{\, 2}\) өрнегі айырманың толық квадраты екені белгілі.
Айырма квадраты
Кез келген \(\displaystyle a, \, b\) сандары үшін төмендегілер тең
\(\displaystyle a^{\, 2}-2ab+b^{\, 2}=(a-b\,)^2.\)
\(\displaystyle 49u^{\,2}=7^2u^{\,2}=(7u\,)^2\) және \(\displaystyle 4w^{\,2}=2^2w^{\,2}=(2w\,)^2\) екендігін ескерейік.
Әрі қарай \(\displaystyle 28uw\) екі еселенген көбейтінді түрінде жазайық:
\(\displaystyle 28uw=2\cdot 7u \cdot 2w.\)
Енді біз айырма квадратының формуласы айқын көрінетіндей етіп өрнегімізді қайта жаза аламыз:
\(\displaystyle 49u^{\,2}-28uw+4w^{\, 2}=(7u\,)^2-2\cdot 7u \cdot 2w+(2w\,)^2.\)
Бұдан біздің өрнек \(\displaystyle a=7u\) және \(\displaystyle b=2w\) айырма квадратымен дәл сәйкес келетіндігін көруге болады:
\(\displaystyle (7u\,)^2-2\cdot 7u \cdot 2w+(2w\,)^2=(7u-2w\,)^2.\)
Осылайша,
\(\displaystyle 49u^{\,2}-28uw+4w^{\, 2}=(7u-2w\,)^2.\)
Жауабы: \(\displaystyle (7u-2w\,)^2.\)
Екінші әдіс (квадрат бойынша және екі еселенген көбейтінді бойынша айырма квадратын табу).
Бізге \(\displaystyle 49u^{\,2}-28uw+4w^{\, 2}\) өрнегі айырманың толық квадраты екені белгілі.
Айырма квадраты
Кез келген \(\displaystyle a, \, b\) сандары үшін төмендегілер тең
\(\displaystyle a^{\, 2}-2ab+b^{\, 2}=(a-b\,)^2.\)
Демек, табу керек кейбір \(\displaystyle a\) және \(\displaystyle b\) үшін
\(\displaystyle 49u^{\,2}-28uw+4w^{\, 2}=a^{\, 2}-2ab+b^{\, 2}\)
және
\(\displaystyle 49u^{\,2}-28uw+4w^{\, 2}=(a-b\,)^2\)
\(\displaystyle 49u^{\,2}=7^2u^{\,2}=(7u\,)^2\) және \(\displaystyle 49u^{\,2}-28uw+4w^{\, 2}=(7u\,)^2-28uw+4w^{\, 2}\) екендігін ескерейік.
Егер \(\displaystyle a^{\,2}=(7u\,)^2,\) болса, онда \(\displaystyle a=7u\) немесе \(\displaystyle a=-7u\) (тиісті дәлелді қараңыз).
Плюс (\(\displaystyle {\bf +}\)) таңбасы бар нұсқаны, яғни \(\displaystyle a=7u\) таңдайық.
\(\displaystyle (7u\,)^2-28uw+4w^{\, 2}=\color{blue}{a}^{\, 2}-2\color{blue}{a}b+b^{\, 2}\) теңдігін
\(\displaystyle \color{blue}{a}\) орнына \(\displaystyle \color{blue}{7u}\) өрнегін алмастыра отырып, қайта жазайық:
\(\displaystyle (7u\,)^2-28uw+4w^{\, 2}=\color{blue}{(7u\,)}^2-2\cdot\color{blue}{7u}\cdot b+b^{\, 2}.\)
\(\displaystyle u\) параметрі бар өрнектің сол жағында \(\displaystyle 28uw,\) ал оң жағында \(\displaystyle 2\cdot 7u\cdot b\) қосылғышы тұр. Оларды теңестіреміз:
\(\displaystyle 28uw=2\cdot 7u\cdot b,\)
\(\displaystyle b=\frac{28uw}{2\cdot 7u},\)
\(\displaystyle b=2w.\)
Осылайша, \(\displaystyle a=7u\) және \(\displaystyle b=2w.\)
\(\displaystyle 49u^{\,2}-28uw+4w^{\, 2}=(a-b\,)^2\) теңдігін алмастыра отырып, келесіні аламыз
\(\displaystyle 49u^{\,2}-28uw+4w^{\, 2}=(7u-2w\,)^2.\)
Жауабы: \(\displaystyle (7u-2w\,)^2.\)