Қосындының кубын табыңыз:
\(\displaystyle (3u\,)^3+216 u^{\,2}+576 u+8^3=\big(\)\(\displaystyle \big)^3\)
Бірінші амал.
\(\displaystyle (3u\,)^3+216 u^{\,2}+576u+8^3\) өрнегі қосындының толық кубы болып табылатыны белгілі.
Қосындының кубы
Кез келген \(\displaystyle a, \, b\) сандарына төмендегілер тең
\(\displaystyle (a+b\,)^3=a^{\,3}+3a^{\,2}b+3ab^{\,2}+b^{\,3}.\)
\(\displaystyle 216 u^{\,2}\) және \(\displaystyle 576u\) көбейткіштердің бірі квадрат болатындай етіп үш еселенген көбейтінділер түрінде қайта жазайық:
\(\displaystyle 216 u^{\,2}=3\cdot 9u^{\,2}\cdot 8=3\cdot (3u\,)^2 \cdot 8,\)
\(\displaystyle 576u=3\cdot 3u \cdot 64=3\cdot 3u \cdot 8^2.\)
Сонда
\(\displaystyle (3u\,)^3+216 u^{\,2}+576u+8^3=(3u\,)^3+3\cdot (3u\,)^2 \cdot 8 +3\cdot 3u \cdot 8^2+8^3.\)
Теңдіктерді салыстыра отырып
\(\displaystyle \begin{aligned}\begin{array}{r}\color{blue}{a}^{\,3}\\(\color{blue}{3u}\,)^3\end{array}\kern{-0.3em}\begin{array}{l}+\\+\end{array}\kern{-0.3em}\begin{array}{c}3\color{blue}{a}^{\,2}\color{green}{b}\\3\cdot (\color{blue}{3u}\,)^2\cdot \color{green}{8}\end{array}\kern{-0.3em}\begin{array}{l}+\\+\end{array}\kern{-0.3em}\begin{array}{c}3\color{blue}{a}\color{green}{b}^{\,2}\\3\cdot \color{blue}{3u}\cdot \color{green}{8}^2\end{array}\begin{array}{l}+\color{green}{b}^{\,3}\\+\color{green}{8}^3\end{array}\begin{array}{l}=(\color{blue}{a}+\color{green}{b}\,)^3\\=(\,\color{blue}{?\,}+\,\color{green}{?\,})^3,\end{array}\end{aligned}\)
егер \(\displaystyle a=3u\) егер \(\displaystyle b=8\) болса, біз олардың дәл сәйкес келетінін көреміз.
Осылайша,
\(\displaystyle (3u\,)^3+216 u^{\,2}+576u+8^3=(3u+8)^3.\)
Жауабы: \(\displaystyle ({\bf 3u+8}\,)^3.\)
Екінші амал.
\(\displaystyle (3u\,)^3+216 u^{\,2}+576u+8^3\) өрнегі қосындының толық кубы болып табылатыны белгілі.
Демек,
\(\displaystyle (3u\,)^3+216 u^{\,2}+576u+8^3=(a+b\,)^3\)
табу керек кейбір \(\displaystyle a\) және \(\displaystyle b\) үшін
«Қосындының кубы» формуласын еске салайық.
Қосындының кубы
Кез келген \(\displaystyle a, \, b\) сандарына төмендегілер тең
\(\displaystyle (a+b\,)^3=a^{\,3}+3a^{\,2}b+3ab^{\,2}+b^{\,3}.\)
Олай болса,
\(\displaystyle (3u\,)^3+216 u^{\,2}+576u+8^3=a^{\,3}+3a^{\,2}b+3ab^{\,2}+b^{\,3}.\)
Үшінші дәрежелі өрнектерді теңестіреміз. Мысалы,
\(\displaystyle \color{blue}{a^{\, 3}}+3a^{\,2}b+3ab^{\,2}+\color{green}{b^{\, 3}}=\color{blue}{(3u\,)^3}+216 u^{\,2}+576u+\color{green}{8^3},\)
\(\displaystyle \color{blue}{a^{\,3}}=\color{blue}{(3u\,)^3}\) және \(\displaystyle \color{green}{b^{\,3}}=\color{green}{8^3}.\)
\(\displaystyle a=3u\) және \(\displaystyle b=8\) Сонда келесіні болжауға болады
1. \(\displaystyle \color{blue}{a^{\,3}}=\color{blue}{(3u\,)^3}\) и \(\displaystyle \color{green}{b^{\,3}}=\color{green}{8^3}\) екі теңдігінің орындалатыны белгілі.
2. Әрі қарай үш еселенген көбейтінділердің теңдігін тексеру керек
\(\displaystyle 3a^{\,2}b+3ab^{\,2}=216 u^{\,2}+576u\)
\(\displaystyle a=3u\) және \(\displaystyle b=8\) кезінде
\(\displaystyle a=3u\) және \(\displaystyle b=8\) алмастырып, \(\displaystyle 3\cdot (3u\,)^{\,2}\cdot 8+3\cdot 3u\cdot 8^2=216 u^{\,2}+576u,\) дұрыс теңдік аламыз.
Нәтижесінде келесі теңдікті аламыз
\(\displaystyle (3u\,)^3+216 u^{\,2}+576u+8^3=a^{\,3}+3a^{\,2}b+3ab^{\,2}+b^{\,3}\)
\(\displaystyle a=3u\) және \(\displaystyle b=8\) кезінде
Олай болса,
\(\displaystyle (3u\,)^3+216 u^{\,2}+576u+8^3=(a+b\,)^3\)
\(\displaystyle a=3u\) және \(\displaystyle b=8\) кезінде, яғни
\(\displaystyle (3u\,)^3+216 u^{\,2}+576u+8^3=(3u+8)^3.\)
Жауабы: \(\displaystyle ({\bf 3u+8}\,)^3.\)