Бірінші амал.

\(\displaystyle 343u^{\,3}+3\cdot (7u\,)^2\cdot 3y+3\cdot 7u \cdot (3y\,)^2+27y^{\,3}\) өрнегі қосындының толық кубы болып табылатыны белгілі.

 \(\displaystyle 343u^{\,3}=7^3u^{\,3}=(7u\,)^3\) және \(\displaystyle 27y^{\,3}=3^3y^{\,3}=(3y\,)^3,\) ескерейік,  және сондықтан

\(\displaystyle 343u^{\,3}+3\cdot (7u\,)^2\cdot 3y+3\cdot 7u \cdot (3y\,)^2+27y^{\,3}=(7u\,)^3+3\cdot (7u\,)^2\cdot 3y+3\cdot 7u \cdot (3y\,)^2+(3y\,)^3.\)

Теңдіктерді салыстыра отырып

\(\displaystyle \begin{aligned}\begin{array}{r}\color{blue}{a}^{\,3}\\(\color{blue}{7u}\,)^3\end{array}\kern{-0.2em}\begin{array}{l}+\\+\end{array}\kern{-0.3em}\begin{array}{c}3\color{blue}{a}^{\,2}\color{green}{b}\\3\cdot (\color{blue}{7u}\,)^2\cdot \color{green}{3y}\end{array}\kern{-0.2em}\begin{array}{l}+\\+\end{array}\kern{-0.3em}\begin{array}{c}3\color{blue}{a}\color{green}{b}^{\,2}\\3\cdot \color{blue}{7u}\cdot (\color{green}{3y}\,)^2\end{array}\begin{array}{l}+\color{green}{b}^{\,3}\\+(\color{green}{3y}\,)^3\end{array}\begin{array}{l}=(\color{blue}{a}+\color{green}{b}\,)^3\\=(\,\color{blue}{?\,}+\,\color{green}{?\,})^3,\end{array}\end{aligned}\)

егер \(\displaystyle a=7u\) және \(\displaystyle b=3y\) болса, біз олардың дәл сәйкес келетінін көреміз.

Сондықтан 

\(\displaystyle 343u^{\,3}+3\cdot (7u\,)^2\cdot 3y+3\cdot 7u \cdot (3y\,)^2+27y^{\,3}=({\bf 7u+3y}\,)^3.\)

Жауабы: \(\displaystyle ({\bf 7u+3y}\,)^3.\)

Екінші амал.

\(\displaystyle 343u^{\,3}+3\cdot (7u\,)^2\cdot 3y+3\cdot 7u \cdot (3y\,)^2+27y^{\,3}\) өрнегі қосындының толық кубы болып табылатыны белгілі.

Демек,

\(\displaystyle 343u^{\,3}+3\cdot (7u\,)^2\cdot 3y+3\cdot 7u \cdot (3y\,)^2+27y^{\,3}=(a+b\,)^3\)

табу керек кейбір \(\displaystyle a\) және \(\displaystyle b\) үшін

«Қосындының кубы» формуласын еске салайық.

Олай болса,

\(\displaystyle 343u^{\,3}+3\cdot (7u\,)^2\cdot 3y+3\cdot 7u \cdot (3y\,)^2+27y^{\,3}=a^{\,3}+3a^{\,2}b+3ab^{\,2}+b^{\,3}.\)

\(\displaystyle 343u^{\,3}=7^3u^{\,3}=(7u\,)^3\) және \(\displaystyle 27y^{\,3}=3^3y^{\,3}=(3y\,)^3,\) болғандықтан,  онда

\(\displaystyle 343u^{\,3}+3\cdot (7u\,)^2\cdot 3y+3\cdot 7u \cdot (3y\,)^2+27y^{\,3}=(7u\,)^3+3\cdot (7u\,)^2\cdot 3y+3\cdot 7u \cdot (3y\,)^2+(3y\,)^3\)

және

\(\displaystyle (7u\,)^3+3\cdot (7u\,)^2\cdot 3y+3\cdot 7u \cdot (3y\,)^2+(3y\,)^3=a^{\,3}+3a^{\,2}b+3ab^{\,2}+b^{\,3}.\)

Үшінші дәрежелі өрнектерді теңестіреміз. Мысалы,

\(\displaystyle \color{blue}{a^{\, 3}}+3a^{\,2}b+3ab^{\,2}+\color{green}{b^{\, 3}}=\color{blue}{(7u\,)^3}+3\cdot (7u\,)^2\cdot 3y+3\cdot 7u \cdot (3y\,)^2+\color{green}{(3y\,)^3},\)

\(\displaystyle \color{blue}{a^{\,3}}=\color{blue}{(7u\,)^3}\) және \(\displaystyle \color{green}{b^{\,3}}=\color{green}{(3y\,)^3}.\)

Сонда келесіні болжауға болады  \(\displaystyle a=7u\) және \(\displaystyle b=3y.\)

1. \(\displaystyle \color{blue}{a^{\,3}}=\color{blue}{(7u\,)^3}\) және \(\displaystyle \color{green}{b^{\,3}}=\color{green}{(3y\,)^3}\) екі теңдігінің орындалатыны белгілі.

2. Әрі қарай үш еселенген көбейтінділердің теңдігін тексеру керек

\(\displaystyle 3a^{\,2}b+3ab^{\,2}=3\cdot (7u\,)^2\cdot 3y+3\cdot 7u \cdot (3y\,)^2\)

\(\displaystyle a=7u\) және \(\displaystyle b=3y\) кезінде

\(\displaystyle a=7u\) және \(\displaystyle b=3y\) алмастырып,

\(\displaystyle 3\cdot (7u\,)^2\cdot 3y+3\cdot 7u \cdot (3y\,)^2=3\cdot (7u\,)^2\cdot 3y+3\cdot 7u \cdot (3y\,)^2,\)

дұрыс теңдік аламыз.

Нәтижесінде келесі теңдікті аламыз

\(\displaystyle (7u\,)^3+3\cdot (7u\,)^2\cdot 3y+3\cdot 7u \cdot (3y\,)^2+(3y\,)^3=a^{\,3}+3a^{\,2}b+3ab^{\,2}+b^{\,3}\)

\(\displaystyle a=7u\) және \(\displaystyle b=3y\) кезінде.

Олай болса,

\(\displaystyle (7u\,)^3+3\cdot (7u\,)^2\cdot 3y+3\cdot 7u \cdot (3y\,)^2+(3y\,)^3=(a+b\,)^3\)

\(\displaystyle a=7u\) және \(\displaystyle b=3y\) кезінде, яғни

\(\displaystyle (7u\,)^3+3\cdot (7u\,)^2\cdot 3y+3\cdot 7u \cdot (3y\,)^2+(3y\,)^3=(7u+3y\,)^3.\)

Осылайша,

\(\displaystyle 343u^{\,3}+3\cdot (7u\,)^2\cdot 3y+3\cdot 7u \cdot (3y\,)^2+27y^{\,3}=({\bf 7u+3y}\,)^3.\)

Жауабы: \(\displaystyle ({\bf 7u+3y}\,)^3.\)