Бірінші амал.

\(\displaystyle 27z^{\,3}+270z^{\,2}x+900z x^{\,2}+1000x^{\,3}\) өрнегі қосындының толық кубы болып табылатыны белгілі.

Алдымен \(\displaystyle 27z^{\,3}=3^3z^{\,3}=(3z\,)^3\) және \(\displaystyle 1000x^{\,3}=10^3x^{\,3}=(10x\,)^3\) ескерейік.  Әрі қарай \(\displaystyle 270z^{\,2}x\) және \(\displaystyle 900z x^{\,2}\) көбейткіштердің бірі квадрат болатындай етіп үш еселенген көбейтінділер түрінде жазайық:

\(\displaystyle 270z^{\,2}x=3\cdot 9z^{\,2}\cdot 10x=3\cdot (3z\,)^2\cdot 10x,\)

\(\displaystyle 900z x^{\,2}=3\cdot 3z\cdot 100x^{\,2}=3\cdot 3z\cdot (10x\,)^2.\)

Сондықтан

\(\displaystyle 27z^{\,3}+270z^{\,2}x+900z x^{\,2}+1000x^{\,3}=(3z\,)^3+3\cdot (3z\,)^2\cdot 10x +3\cdot 3z\cdot (10x\,)^2+(10x\,)^3.\)

Теңдіктерді салыстыра отырып

\(\displaystyle \begin{aligned}\begin{array}{r}\color{blue}{a}^{\,3}\\(\color{blue}{3z}\,)^3\end{array}\kern{-0.2em}\begin{array}{l}+\\+\end{array}\kern{-0.3em}\begin{array}{c}3\color{blue}{a}^{\,2}\color{green}{b}\\3\cdot (\color{blue}{3z}\,)^2\cdot \color{green}{10x}\end{array}\kern{-0.2em}\begin{array}{l}+\\+\end{array}\kern{-0.3em}\begin{array}{c}3\color{blue}{a}\color{green}{b}^{\,2}\\3\cdot \color{blue}{3z}\cdot (\color{green}{10x}\,)^2\end{array}\begin{array}{l}+\color{green}{b}^{\,3}\\+(\color{green}{10x}\,)^3\end{array}\begin{array}{l}=(\color{blue}{a}+\color{green}{b}\,)^3\\=(\,\color{blue}{?\,}+\,\color{green}{?\,})^3,\end{array}\end{aligned}\)

егер \(\displaystyle a=3z\) және \(\displaystyle b=10x\) болса, біз олардың дәл сәйкес келетінін көреміз.

Осылайша,

\(\displaystyle 27z^{\,3}+270z^{\,2}x+900z x^{\,2}+1000x^{\,3}=({\bf 3z+10x}\,)^3.\)

Жауабы: \(\displaystyle ({\bf 3z+10x}\,)^3.\)

Екінші амал.

\(\displaystyle 27z^{\,3}+270z^{\,2}x+900z x^{\,2}+1000x^{\,3}\) өрнегі қосындының толық кубы болып табылатыны белгілі.

Демек,

\(\displaystyle 27z^{\,3}+270z^{\,2}x+900z x^{\,2}+1000x^{\,3}=(a+b\,)^3\)

табу керек кейбір \(\displaystyle a\) және \(\displaystyle b\) үшін

«Қосындының кубы» формуласын еске салайық.

Олай болса,

\(\displaystyle 27z^{\,3}+270z^{\,2}x+900z x^{\,2}+1000x^{\,3}=a^{\,3}+3a^{\,2}b+3ab^{\,2}+b^{\,3}.\)

 \(\displaystyle 27z^{\,3}=3^3z^{\,3}=(3z\,)^3\) және \(\displaystyle 1000x^{\,3}=10^3x^{\,3}=(10x\,)^3,\) болғандықтан,  онда

\(\displaystyle 27z^{\,3}+270z^{\,2}x+900z x^{\,2}+1000x^{\,3}=(3z\,)^3+270z^{\,2}x+900z x^{\,2}+(10x\,)^3\)

және

\(\displaystyle (3z\,)^3+270z^{\,2}x+900z x^{\,2}+(10x\,)^3=a^{\,3}+3a^{\,2}b+3ab^{\,2}+b^{\,3}.\)

Үшінші дәрежелі өрнектерді теңестіреміз. Мысалы,

\(\displaystyle \color{blue}{a^{\, 3}}+3a^{\,2}b+3ab^{\,2}+\color{green}{b^{\, 3}}=\color{blue}{(3z\,)^3}+270z^{\,2}x+900z x^{\,2}+\color{green}{(10x\,)^3},\)

\(\displaystyle \color{blue}{a^{\,3}}=\color{blue}{(3z\,)^3}\) және \(\displaystyle \color{green}{b^{\,3}}=\color{green}{(10x\,)^3}.\)

Сонда келесіні болжауға болады \(\displaystyle a=3z\) және \(\displaystyle b=10x.\)

1. \(\displaystyle \color{blue}{a^{\,3}}=\color{blue}{(3z\,)^3}\) және \(\displaystyle \color{green}{b^{\,3}}=\color{green}{(10x\,)^3}\) екі теңдігінің орындалатыны белгілі.

2. Әрі қарай үш еселенген көбейтінділердің теңдігін тексеру керек

\(\displaystyle 3a^{\,2}b+3ab^{\,2}=270z^{\,2}x+900z x^{\,2}\)

\(\displaystyle a=3z\) және \(\displaystyle b=10x\) кезінде

\(\displaystyle a=3z\) және \(\displaystyle b=10x\) алмастырып,

\(\displaystyle 3\cdot (3z\,)^2\cdot 10x+3\cdot 3z\cdot (10x\,)^2=270z^{\,2}x+900z x^{\,2},\)

дұрыс теңдік аламыз.

Нәтижесінде келесі теңдікті аламыз

\(\displaystyle (3z\,)^3+270z^{\,2}x+900z x^{\,2}+(10x\,)^3=a^{\,3}+3a^{\,2}b+3ab^{\,2}+b^{\,3}\)

\(\displaystyle a=3z\) және \(\displaystyle b=10x\) кезінде

Олай болса,

\(\displaystyle (3z\,)^3+270z^{\,2}x+900z x^{\,2}+(10x\,)^3=(a+b\,)^3\)

\(\displaystyle a=3z\) және \(\displaystyle b=10x\) кезінде, яғни

\(\displaystyle (3z\,)^3+270z^{\,2}x+900z x^{\,2}+(10x\,)^3=(3z+10x\,)^3.\)

Осылайша,

\(\displaystyle 27z^{\,3}+270z^{\,2}x+900z x^{\,2}+1000x^{\,3}=({\bf 3z+10x}\,)^3.\)

Жауабы: \(\displaystyle ({\bf 3z+10x}\,)^3.\)