Айырманың кубын табыңыз:
\(\displaystyle (2s\,)^3-84s^{\,2}t+294st^{\,2}-(7t\,)^3=\big(\)\(\displaystyle \big)^3\)
Бірінші амал.
\(\displaystyle (2s\,)^3-84s^{\,2}t+294st^{\,2}-(7t\,)^3\) өрнегі айырманың толық кубы болып табылатыны белгілі.
Кез келген \(\displaystyle a, b\) сандарына төмендегілер тең \(\displaystyle (a-b\,)^3=a^{\,3}-3a^{\,2}b+3ab^{\,2}-b^{\,3}.\)Айырманың кубы
\(\displaystyle 84s^{\,2}t\) және \(\displaystyle 294st^{\,2}\) көбейткіштердің бірі квадрат болатындай етіп үш еселенген көбейтінділер түрінде қайта жазайық:
\(\displaystyle 84s^{\,2}t=3\cdot 4s^{\,2}\cdot 7t=3\cdot (2s\,)^2 \cdot 7t,\)
\(\displaystyle 294st^{\,2}=3\cdot 2s \cdot 49t^{\,2}=3\cdot 2s \cdot (7t\,)^2.\)
Сонда
\(\displaystyle (2s\,)^3-84s^{\,2}t+294st^{\,2}-(7t\,)^3=(2s\,)^3-3\cdot (2s\,)^2 \cdot 7t +3\cdot 2s \cdot (7t\,)^2-(7t\,)^3.\)
Теңдіктерді салыстыра отырып
\(\displaystyle \begin{aligned}\begin{array}{r}\color{blue}{a}^{\,3}\\(\color{blue}{2s}\,)^3\end{array}\kern{-0.2em}\begin{array}{l}-\\-\end{array}\kern{-0.3em}\begin{array}{c}3\color{blue}{a}^{\,2}\color{green}{b}\\3\cdot (\color{blue}{2s}\,)^2\cdot \color{green}{7t}\end{array}\kern{-0.2em}\begin{array}{l}+\\+\end{array}\kern{-0.3em}\begin{array}{c}3\color{blue}{a}\color{green}{b}^{\,2}\\3\cdot \color{blue}{2s}\cdot (\color{green}{7t}\,)^2\end{array}\begin{array}{l}-\color{green}{b}^{\,3}\\-(\color{green}{7t}\,)^3\end{array}\begin{array}{l}=(\color{blue}{a}-\color{green}{b}\,)^3\\=(\,\color{blue}{?\,}-\,\color{green}{?\,})^3,\end{array}\end{aligned}\)
егер \(\displaystyle a=2s\) және \(\displaystyle b=7t\) болса, біз олардың дәл сәйкес келетінін көреміз.
Осылайша,
\(\displaystyle (2s\,)^3-84s^{\,2}t+294st^{\,2}-(7t\,)^3=(2s-7t\,)^3.\)
Жауабы: \(\displaystyle ({\bf 2s-7t}\,)^3.\)
Екінші амал.
\(\displaystyle (2s\,)^3-84s^{\,2}t+294st^{\,2}-(7t\,)^3\) өрнегі айырманың толық кубы болып табылатыны белгілі.
Яғни,
\(\displaystyle (2s\,)^3-84s^{\,2}t+294st^{\,2}-(7t\,)^3=(a-b\,)^3\)
табу қажет кейбір \(\displaystyle a\) және \(\displaystyle b,\) үшін.
«Айырманың кубы» формуласын еске салайық.
Кез келген \(\displaystyle a, b\) сандарына төмендегілер тең \(\displaystyle (a-b\,)^3=a^{\,3}-3a^{\,2}b+3ab^{\,2}-b^{\,3}.\)
Демек,
\(\displaystyle (2s\,)^3-84s^{\,2}t+294st^{\,2}-(7t\,)^3=a^{\,3}-3a^{\,2}b+3ab^{\,2}-b^{\,3}.\)
Үшінші дәрежелі өрнектерді теңестіреміз. Мысалы,
\(\displaystyle \color{blue}{a^{\, 3}}-3a^{\,2}b+3ab^{\,2}-\color{green}{b^{\, 3}}=\color{blue}{(2s\,)^3}-84s^{\,2}t+294st^{\,2}-\color{green}{(7t\,)^3},\)
\(\displaystyle \color{blue}{a^{\,3}}=\color{blue}{(2s\,)^3}\) және \(\displaystyle \color{green}{b^{\,3}}=\color{green}{(7t\,)^3}.\)
Сонда келесіні болжауға болады, \(\displaystyle a=2s\) және \(\displaystyle b=7t.\)
1. \(\displaystyle \color{blue}{a^{\,3}}=\color{blue}{(2s\,)^3}\) және \(\displaystyle \color{green}{b^{\,3}}=\color{green}{(7t\,)^3}\) екі теңдігінің орындалатыны белгілі.
2. Әрі қарай үш еселенген көбейтінділердің теңдігін тексеру керек
\(\displaystyle -3a^{\,2}b+3ab^{\,2}=-84s^{\,2}t+294st^{\,2}\)
\(\displaystyle a=2s\) және \(\displaystyle b=7t\) кезінде
\(\displaystyle a=2s\) және \(\displaystyle b=7t\) алмастырып, \(\displaystyle -3\cdot (2s\,)^2\cdot 7t+3\cdot 2s\cdot (7t\,)^2=-84s^{\,2}t+294st^{\,2},\) дұрыс теңдік аламыз.
Нәтижесінде келесі теңдікті аламыз
\(\displaystyle (2s\,)^3-84s^{\,2}t+294st^{\,2}-(7t\,)^3=a^{\,3}-3a^{\,2}b+3ab^{\,2}-b^{\,3}\)
\(\displaystyle a=2s\) және \(\displaystyle b=7t\) кезінде.
Демек,
\(\displaystyle (2s\,)^3-84s^{\,2}t+294st^{\,2}-(7t\,)^3=(a-b\,)^3\)
\(\displaystyle a=2s\) және \(\displaystyle b=7t\) кезінде, яғни
\(\displaystyle (2s\,)^3-84s^{\,2}t+294st^{\,2}-(7t\,)^3=(2s-7t\,)^3.\)
Жауабы: \(\displaystyle ({\bf 2s-7t}\,)^3.\)-