Бірінші амал.

\(\displaystyle 27x^{\,3}-3\cdot (3x\,)^2\cdot 4y+3\cdot 3x \cdot (4y\,)^2-64y^{\,3}\) өрнегі қосындының толық кубы болып табылатыны белгілі.

\(\displaystyle 27x^{\,3}=3^3x^{\,3}=(3x\,)^3\) және \(\displaystyle 64y^{\,3}=4^3y^{\,3}=(4y\,)^3,\) ескерейік, сондықтан

\(\displaystyle 27x^{\,3}-3\cdot (3x\,)^2\cdot 4y+3\cdot 3x \cdot (4y\,)^2-64y^{\,3}=(3x\,)^3-3\cdot (3x\,)^2\cdot 4y+3\cdot 3x \cdot (4y\,)^2-(4y\,)^3.\)

Теңдіктерді салыстыра отырып

\(\displaystyle \begin{aligned}\begin{array}{r}\color{blue}{a}^{\,3}\\(\color{blue}{3x}\,)^3\end{array}\kern{-0.2em}\begin{array}{l}-\\-\end{array}\kern{-0.3em}\begin{array}{c}3\color{blue}{a}^{\,2}\color{green}{b}\\3\cdot (\color{blue}{3x}\,)^2\cdot \color{green}{4y}\end{array}\kern{-0.2em}\begin{array}{l}+\\+\end{array}\kern{-0.3em}\begin{array}{c}3\color{blue}{a}\color{green}{b}^{\,2}\\3\cdot \color{blue}{3x}\cdot (\color{green}{4y}\,)^2\end{array}\begin{array}{l}-\color{green}{b}^{\,3}\\-(\color{green}{4y}\,)^3\end{array}\begin{array}{l}=(\color{blue}{a}-\color{green}{b}\,)^3\\=(\,\color{blue}{?\,}-\,\color{green}{?\,})^3,\end{array}\end{aligned}\)

егер \(\displaystyle a=3x\) және \(\displaystyle b=4y\) болса, біз олардың дәл сәйкес келетінін көреміз.

Сондықтан 

\(\displaystyle 27x^{\,3}-3\cdot (3x\,)^2\cdot 4y+3\cdot 3x \cdot (4y\,)^2-64y^{\,3}=({\bf 3x-4y}\,)^3.\)

Жауабы: \(\displaystyle ({\bf 3x-4y}\,)^3.\)

Екінші амал.

\(\displaystyle 27x^{\,3}-3\cdot (3x\,)^2\cdot 4y+3\cdot 3x \cdot (4y\,)^2-64y^{\,3}\) өрнегі айырманың толық кубы болып табылатыны белгілі.

Яғни,

\(\displaystyle 27x^{\,3}-3\cdot (3x\,)^2\cdot 4y+3\cdot 3x \cdot (4y\,)^2-64y^{\,3}=(a-b\,)^3\)

табу қажет кейбір \(\displaystyle a\) және \(\displaystyle b,\) үшін.

«Айырманың кубы» формуласын еске салайық.

Демек,

\(\displaystyle 27x^{\,3}-3\cdot (3x\,)^2\cdot 4y+3\cdot 3x \cdot (4y\,)^2-64y^{\,3}=a^{\,3}-3a^{\,2}b+3ab^{\,2}-b^{\,3}.\)

 \(\displaystyle 27x^{\,3}=3^3x^{\,3}=(3x\,)^3\) және \(\displaystyle 64y^{\,3}=4^3y^{\,3}=(4y\,)^3,\) болғандығын ескеретін болсақ, онда

\(\displaystyle 27x^{\,3}-3\cdot (3x\,)^2\cdot 4y+3\cdot 3x \cdot (4y\,)^2-64y^{\,3}=(3x\,)^3-3\cdot (3x\,)^2\cdot 4y+3\cdot 3x \cdot (4y\,)^2-(4y\,)^3\)

және

\(\displaystyle (3x\,)^3-3\cdot (3x\,)^2\cdot 4y+3\cdot 3x \cdot (4y\,)^2-(4y\,)^3=a^{\,3}-3a^{\,2}b+3ab^{\,2}-b^{\,3}.\)

Үшінші дәрежелі өрнектерді теңестіреміз. Мысалы,

\(\displaystyle \color{blue}{a^{\, 3}}-3a^{\,2}b+3ab^{\,2}-\color{green}{b^{\, 3}}=\color{blue}{(3x\,)^3}-3\cdot (3x\,)^2\cdot 4y+3\cdot 3x \cdot (4y\,)^2-\color{green}{(4y\,)^3},\)

\(\displaystyle \color{blue}{a^{\,3}}=\color{blue}{(3x\,)^3}\) және \(\displaystyle \color{green}{b^{\,3}}=\color{green}{(4y\,)^3}.\)

Сонда келесіні болжауға болады, \(\displaystyle a=3x\) және \(\displaystyle b=4y.\)

1. \(\displaystyle \color{blue}{a^{\,3}}=\color{blue}{(3x\,)^3}\) және \(\displaystyle \color{green}{b^{\,3}}=\color{green}{(4y\,)^3}\) екі теңдігінің орындалатыны белгілі.

2. Әрі қарай үш еселенген көбейтінділердің теңдігін тексеру керек

\(\displaystyle -3a^{\,2}b+3ab^{\,2}=-3\cdot (3x\,)^2\cdot 4y+3\cdot 3x \cdot (4y\,)^2\)

\(\displaystyle a=3x\) және \(\displaystyle b=4y\) кезінде

\(\displaystyle a=3x\) және \(\displaystyle b=4y\) алмастырып,

\(\displaystyle -3\cdot (3x\,)^2\cdot 4y+3\cdot 3x \cdot (4y\,)^2=-3\cdot (3x\,)^2\cdot 4y+3\cdot 3x \cdot (4y\,)^2,\)

дұрыс теңдік аламыз.

Нәтижесінде келесі теңдікті аламыз

\(\displaystyle (3x\,)^3-3\cdot (3x\,)^2\cdot 4y+3\cdot 3x \cdot (4y\,)^2-(4y\,)^3=a^{\,3}-3a^{\,2}b+3ab^{\,2}-b^{\,3}\)

\(\displaystyle a=3x\) және \(\displaystyle b=4y\) кезінде.

Демек,

\(\displaystyle (3x\,)^3-3\cdot (3x\,)^2\cdot 4y+3\cdot 3x \cdot (4y\,)^2-(4y\,)^3=(a-b\,)^3\)

\(\displaystyle a=3x\) және \(\displaystyle b=4y\) кезінде, яғни

\(\displaystyle (3x\,)^3-3\cdot (3x\,)^2\cdot 4y+3\cdot 3x \cdot (4y\,)^2-(4y\,)^3=(3x-4y\,)^3.\)

Осылайша,

\(\displaystyle 27x^{\,3}-3\cdot (3x\,)^2\cdot 4y+3\cdot 3x \cdot (4y\,)^2-64y^{\,3}=({\bf 3x-4y}\,)^3.\)

Жауабы: \(\displaystyle ({\bf 3x-4y}\,)^3.\)