Бірінші амал.

Известно, что выражение \(\displaystyle 8y^{\,3}-60y^{\,2}z+150y z^{\,2}-125z^{\,3}\) өрнегі айырманың толық кубы болып табылатыны белгілі.

Алдымен \(\displaystyle 8y^{\,3}=2^3y^{\,3}=(2y\,)^3\) және \(\displaystyle 125z^{\,3}=5^3z^{\,3}=(5z\,)^3\) ескерейік. Әрі қарай, \(\displaystyle 60y^{\,2}z\) және \(\displaystyle 150y z^{\,2}\) көбейткіштердің бірі квадрат болатындай етіп үш еселенген көбейтінділер түрінде жазайық:

\(\displaystyle 60y^{\,2}z=3\cdot 4y^{\,2}\cdot 5z=3\cdot (2y\,)^2\cdot 5z,\)

\(\displaystyle 150y z^{\,2}=3\cdot 2y\cdot 25z^{\,2}=3\cdot 2y\cdot (5z\,)^2.\)

Сондықтан

\(\displaystyle 8y^{\,3}-60y^{\,2}z+150y z^{\,2}-125z^{\,3}=(2y\,)^3-3\cdot (2y\,)^2\cdot 5z+3\cdot 2y\cdot (5z\,)^2-(5z\,)^3.\)

Теңдіктерді салыстыра отырып

\(\displaystyle \begin{aligned}\begin{array}{r}\color{blue}{a}^{\,3}\\(\color{blue}{2y}\,)^3\end{array}\kern{-0.2em}\begin{array}{l}-\\-\end{array}\kern{-0.3em}\begin{array}{c}3\color{blue}{a}^{\,2}\color{green}{b}\\3\cdot (\color{blue}{2y}\,)^2\cdot \color{green}{5z}\end{array}\kern{-0.2em}\begin{array}{l}+\\+\end{array}\kern{-0.3em}\begin{array}{c}3\color{blue}{a}\color{green}{b}^{\,2}\\3\cdot \color{blue}{2y}\cdot (\color{green}{5z}\,)^2\end{array}\begin{array}{l}-\color{green}{b}^{\,3}\\-(\color{green}{5z}\,)^3\end{array}\begin{array}{l}=(\color{blue}{a}-\color{green}{b}\,)^3\\=(\,\color{blue}{?\,}-\,\color{green}{?\,})^3,\end{array}\end{aligned}\)

егер \(\displaystyle a=2y\) және \(\displaystyle b=5z\) болса, біз олардың дәл сәйкес келетінін көреміз.

Осылайша,

\(\displaystyle 8y^{\,3}-60y^{\,2}z+150y z^{\,2}-125z^{\,3}=({\bf 2y-5z}\,)^3.\)

Жауабы: \(\displaystyle ({\bf 2y-5z}\,)^3.\)

Екінші амал.

\(\displaystyle 8y^{\,3}-60y^{\,2}z+150y z^{\,2}-125z^{\,3}\) өрнегі айырманың толық кубы болып табылатыны белгілі.

Яғни,

\(\displaystyle 8y^{\,3}-60y^{\,2}z+150y z^{\,2}-125z^{\,3}=(a-b\,)^3\)

табу қажет кейбір \(\displaystyle a\) және \(\displaystyle b,\) үшін.

«Айырманың кубы» формуласын еске салайық.

Демек,

\(\displaystyle 8y^{\,3}-60y^{\,2}z+150y z^{\,2}-125z^{\,3}=a^{\,3}-3a^{\,2}b+3ab^{\,2}-b^{\,3}.\)

 \(\displaystyle 8y^{\,3}=2^3y^{\,3}=(2y\,)^3\) және \(\displaystyle 125z^{\,3}=5^3z^{\,3}=(5z\,)^3,\) болғандығын ескеретін болсақ, онда

\(\displaystyle 8y^{\,3}-60y^{\,2}z+150y z^{\,2}-125z^{\,3}=(2y\,)^3-60y^{\,2}z+150y z^{\,2}-(5z\,)^3\)

және

\(\displaystyle (2y\,)^3-60y^{\,2}z+150y z^{\,2}-(5z\,)^3=a^{\,3}-3a^{\,2}b+3ab^{\,2}-b^{\,3}.\)

Үшінші дәрежелі өрнектерді теңестіреміз. Мысалы,

\(\displaystyle \color{blue}{a^{\, 3}}-3a^{\,2}b+3ab^{\,2}-\color{green}{b^{\, 3}}=\color{blue}{(2y\,)^3}-60y^{\,2}z+150y z^{\,2}-\color{green}{(5z\,)^3},\)

\(\displaystyle \color{blue}{a^{\,3}}=\color{blue}{(2y\,)^3}\) және \(\displaystyle \color{green}{b^{\,3}}=\color{green}{(5z\,)^3}.\)

Сонда келесіні болжауға болады, \(\displaystyle a=2y\) және \(\displaystyle b=5z.\)

1. \(\displaystyle \color{blue}{a^{\,3}}=\color{blue}{(2y\,)^3}\) және \(\displaystyle \color{green}{b^{\,3}}=\color{green}{(5z\,)^3}\) екі теңдігінің орындалатыны белгілі.

2. Әрі қарай үш еселенген көбейтінділердің теңдігін тексеру керек

\(\displaystyle -3a^{\,2}b+3ab^{\,2}=-60y^{\,2}z+150y z^{\,2}\)

\(\displaystyle a=2y\) және \(\displaystyle b=5z\) кезінде

\(\displaystyle a=2y\) және \(\displaystyle b=5z\) алмастырып,

\(\displaystyle -3\cdot (2y\,)^2\cdot 5z+3\cdot 2y\cdot (5z\,)^2=-60y^{\,2}z+150y z^{\,2},\)

дұрыс теңдік аламыз.

Нәтижесінде келесі теңдікті аламыз

\(\displaystyle (2y\,)^3-60y^{\,2}z+150y z^{\,2}-(5z\,)^3=a^{\,3}-3a^{\,2}b+3ab^{\,2}-b^{\,3}\)

\(\displaystyle a=2y\) және \(\displaystyle b=5z\) кезінде.

Демек,

\(\displaystyle (2y\,)^3-60y^{\,2}z+150y z^{\,2}-(5z\,)^3=(a-b\,)^3\)

\(\displaystyle a=2y\) және \(\displaystyle b=5z\) кезінде, яғни

\(\displaystyle (2y\,)^3-60y^{\,2}z+150y z^{\,2}-(5z\,)^3=(2y-5z\,)^3.\)

Осылайша,

\(\displaystyle 8y^{\,3}-60y^{\,2}z+150y z^{\,2}-125z^{\,3}=({\bf 2y-5z}\,)^3.\)

Жауабы: \(\displaystyle ({\bf 2y-5z}\,)^3.\)