Найдите куб разности:
\(\displaystyle 8y^{\,3}-60y^{\,2}z+150y z^{\,2}-125z^{\,3}=\big(\)\(\displaystyle \big)^3\)
Первый способ.
Известно, что выражение \(\displaystyle 8y^{\,3}-60y^{\,2}z+150y z^{\,2}-125z^{\,3}\) является полным кубом разности.
Куб разности
Для любых чисел \(\displaystyle a, b\) верно
\(\displaystyle (a-b\,)^3=a^{\,3}-3a^{\,2}b+3ab^{\,2}-b^{\,3}.\)
Сначала заметим, что \(\displaystyle 8y^{\,3}=2^3y^{\,3}=(2y\,)^3\) и \(\displaystyle 125z^{\,3}=5^3z^{\,3}=(5z\,)^3.\) Далее распишем \(\displaystyle 60y^{\,2}z\) и \(\displaystyle 150y z^{\,2}\) как утроенные произведения так, чтобы один из множителей был в квадрате:
\(\displaystyle 60y^{\,2}z=3\cdot 4y^{\,2}\cdot 5z=3\cdot (2y\,)^2\cdot 5z,\)
\(\displaystyle 150y z^{\,2}=3\cdot 2y\cdot 25z^{\,2}=3\cdot 2y\cdot (5z\,)^2.\)
Поэтому
\(\displaystyle 8y^{\,3}-60y^{\,2}z+150y z^{\,2}-125z^{\,3}=(2y\,)^3-3\cdot (2y\,)^2\cdot 5z+3\cdot 2y\cdot (5z\,)^2-(5z\,)^3.\)
Сравнивая равенства
\(\displaystyle \begin{aligned} \begin{array}{r} \color{blue}{a}^{\,3}\\ (\color{blue}{2y}\,)^3 \end{array} \kern{-0.2em} \begin{array}{l} -\\ - \end{array} \kern{-0.3em} \begin{array}{c} 3\color{blue}{a}^{\,2}\color{green}{b}\\ 3\cdot (\color{blue}{2y}\,)^2\cdot \color{green}{5z} \end{array} \kern{-0.2em} \begin{array}{l} +\\ + \end{array} \kern{-0.3em} \begin{array}{c} 3\color{blue}{a}\color{green}{b}^{\,2}\\ 3\cdot \color{blue}{2y}\cdot (\color{green}{5z}\,)^2 \end{array} \begin{array}{l} -\color{green}{b}^{\,3}\\ -(\color{green}{5z}\,)^3 \end{array} \begin{array}{l} =(\color{blue}{a}-\color{green}{b}\,)^3\\ =(\,\color{blue}{?\,}-\,\color{green}{?\,})^3, \end{array} \end{aligned}\)
видим, что они в точности совпадают, если \(\displaystyle a=2y\) и \(\displaystyle b=5z.\)
Таким образом,
\(\displaystyle 8y^{\,3}-60y^{\,2}z+150y z^{\,2}-125z^{\,3}=({\bf 2y-5z}\,)^3.\)
Ответ: \(\displaystyle ({\bf 2y-5z}\,)^3.\)
Второй способ.
Известно, что выражение \(\displaystyle 8y^{\,3}-60y^{\,2}z+150y z^{\,2}-125z^{\,3}\) является полным кубом разности.
Значит,
\(\displaystyle 8y^{\,3}-60y^{\,2}z+150y z^{\,2}-125z^{\,3}=(a-b\,)^3\)
для некоторых \(\displaystyle a\) и \(\displaystyle b,\) которые надо найти.
Напомним формулу "куб разности".
Куб разности
Для любых чисел \(\displaystyle a, b\) верно
\(\displaystyle (a-b\,)^3=a^{\,3}-3a^{\,2}b+3ab^{\,2}-b^{\,3}.\)
Следовательно,
\(\displaystyle 8y^{\,3}-60y^{\,2}z+150y z^{\,2}-125z^{\,3}=a^{\,3}-3a^{\,2}b+3ab^{\,2}-b^{\,3}.\)
Заметим, что поскольку \(\displaystyle 8y^{\,3}=2^3y^{\,3}=(2y\,)^3\) и \(\displaystyle 125z^{\,3}=5^3z^{\,3}=(5z\,)^3,\) то
\(\displaystyle 8y^{\,3}-60y^{\,2}z+150y z^{\,2}-125z^{\,3}=(2y\,)^3-60y^{\,2}z+150y z^{\,2}-(5z\,)^3\)
и
\(\displaystyle (2y\,)^3-60y^{\,2}z+150y z^{\,2}-(5z\,)^3=a^{\,3}-3a^{\,2}b+3ab^{\,2}-b^{\,3}.\)
Приравняем выражения, стоящие в третьих степенях. Например,
\(\displaystyle \color{blue}{a^{\, 3}}-3a^{\,2}b+3ab^{\,2}-\color{green}{b^{\, 3}}=\color{blue}{(2y\,)^3}-60y^{\,2}z+150y z^{\,2}-\color{green}{(5z\,)^3},\)
\(\displaystyle \color{blue}{a^{\,3}}=\color{blue}{(2y\,)^3}\) и \(\displaystyle \color{green}{b^{\,3}}=\color{green}{(5z\,)^3}.\)
Тогда можно предположить, что \(\displaystyle a=2y\) и \(\displaystyle b=5z.\)
1. Очевидно, что два равенства \(\displaystyle \color{blue}{a^{\,3}}=\color{blue}{(2y\,)^3}\) и \(\displaystyle \color{green}{b^{\,3}}=\color{green}{(5z\,)^3}\) выполняются.
2. Далее надо проверить равенство утроенных произведений
\(\displaystyle -3a^{\,2}b+3ab^{\,2}=-60y^{\,2}z+150y z^{\,2}\)
при \(\displaystyle a=2y\) и \(\displaystyle b=5z.\)
Подставляем \(\displaystyle a=2y\) и \(\displaystyle b=5z\) и получаем
\(\displaystyle -3\cdot (2y\,)^2\cdot 5z+3\cdot 2y\cdot (5z\,)^2=-60y^{\,2}z+150y z^{\,2},\)
верное равенство.
В итоге мы получили равенство
\(\displaystyle (2y\,)^3-60y^{\,2}z+150y z^{\,2}-(5z\,)^3=a^{\,3}-3a^{\,2}b+3ab^{\,2}-b^{\,3}\)
при \(\displaystyle a=2y\) и \(\displaystyle b=5z.\)
Следовательно,
\(\displaystyle (2y\,)^3-60y^{\,2}z+150y z^{\,2}-(5z\,)^3=(a-b\,)^3\)
при \(\displaystyle a=2y\) и \(\displaystyle b=5z,\) то есть
\(\displaystyle (2y\,)^3-60y^{\,2}z+150y z^{\,2}-(5z\,)^3=(2y-5z\,)^3.\)
Таким образом,
\(\displaystyle 8y^{\,3}-60y^{\,2}z+150y z^{\,2}-125z^{\,3}=({\bf 2y-5z}\,)^3.\)
Ответ: \(\displaystyle ({\bf 2y-5z}\,)^3.\)