Суретте \(\displaystyle f(x)=b+\log _{a} x{\small}\) функцияның графигі көрсетілген. \(\displaystyle f(x)=1{\small}\) болатын \(\displaystyle x\) мәнін табыңыз.
\(\displaystyle x=\)
\(\displaystyle f(x)=1{ \small}\) болатын \(\displaystyle x{\small}\) мәндерін табу үшін,
- белгісіз \(\displaystyle a\) және \(\displaystyle b{ \small}\) коэффициенттерін табамыз,
- \(\displaystyle b+\log _{a} x=1{ \small}\) теңдеуін шешеміз.
\(\displaystyle f(x)=b+\log _{a} x\) функциясының графигінде координаталары\(\displaystyle (\color{blue}4;\color{blue}{-1})\) және \(\displaystyle (\color{green}2;\color{green}{-2}){ \small}\) болатын нүктелер белгіленгенін ескереміз.
Демек,
- \(\displaystyle x=\color{blue}4\) және \(\displaystyle y=\color{blue}{-1}\) координаталарын \(\displaystyle y=b+\log _{a} x\) теңдеуіне қойғанда дұрыс теңдік аламыз;
- \(\displaystyle x=\color{green}2\) және \(\displaystyle y=\color{green}{-2}\) координаталарын \(\displaystyle y=b+\log _{a} x\) теңдеуіне қойғанда дұрыс теңдік аламыз.
Осылайша логарифмдік теңдеулер жүйесін аламыз
\(\displaystyle \left\{\begin{aligned}\color{blue}{-1}&=b+\log _{a} \color{blue}{4}{ \small ,}\\\color{green}{-2}&=b+\log _{a} \color{green}{2}{ \small .}\end{aligned}\right. \)
Оны шешеміз.
1. Рұқсат етілген мәндер ауданын (РМА) табайық.
\(\displaystyle \left\{\begin{aligned}a &> 0{\small ,}\\a\,&\cancel{=}\, 1{\small .}\end{aligned}\right.\)
2. Жүйенің мүмкін болатын шешімдерін табамыз.
Бірінші теңдеуден \(\displaystyle b\)-ны \(\displaystyle a\) арқылы өрнектейміз:
\(\displaystyle b={-1-\log _{a} 4}{ \small .}\)
Екінші теңдеудегі \(\displaystyle b\) орнына \(\displaystyle b=\color{magenta}{-1-\log _{a} 4}{ \small}\) өрнегін ауыстырайық.
Логарифмдік теңдеу аламыз:
\(\displaystyle {-2=\color{magenta}{-1-\log _{a} 4}+\log _{a} 2}{ \small ,}\)
осы жерден
\(\displaystyle {\log _{a} 4-\log _{a} 2}=1{ \small ,}\)
\(\displaystyle \log _{a} \frac{4}{2}=1{ \small ,}\)
\(\displaystyle \log _{a} {2}=1{ \small ,}\)
Логарифмнің негізгі қасиетін қолданайық. РМА-да \(\displaystyle a>0{ \small ,}\, a\,\cancel{=}\, 1{\small}\) болғандықтан, мұны істеуге болады.
Келесіні аламыз:
\(\displaystyle a^{\log _{a} {2}}=a^{1}{ \small ,}\)
\(\displaystyle a=2{ \small .}\)
Сонда
\(\displaystyle b=-1-\log _{a} 4 =-1-\log _{2} 4 =-1-2=-3{ \small .}\)
3. Табылған мәндердің РМА-ға жататынын тексерейік.
\(\displaystyle a=2{ \small :}\) \(\displaystyle 2>0\) дұрыс және \(\displaystyle 2\,\cancel{=}\,1\) дұрыс – РМА қанағаттандырады.
Сонымен, теңдеулер жүйесінің шешімі сандар жұбы болып табылады:
\(\displaystyle a=2\) және \(\displaystyle b=-3{ \small .}\)
Осылайша, бастапқы функция келесідей түрге ие:
\(\displaystyle f(x)=-3+\log _{2} x{ \small .}\)
\(\displaystyle f(x)\) функциясының мәндері \(\displaystyle 1{ \small}\) тең болатын \(\displaystyle x{ \small}\) мәндерін табайық.
Барлық осындай нүктелер келесі теңдеуді қанағаттандырады
\(\displaystyle 1=-3+\log _{2} x{\small , } \)
\(\displaystyle \log _{2} x=4{\small . } \)
Анықтама бойынша, \(\displaystyle \log_c v=u\) тең \(\displaystyle v=c^u{\small .} \)
Сондықтан теңдеу
\(\displaystyle \log _{2} x=4\) тең \(\displaystyle x=2^4{\small .}\)
Яғни
\(\displaystyle x=16{\small . } \)
Жауабы: \(\displaystyle x=16{\small .}\)