На рисунке изображён график функции \(\displaystyle f(x)=b+\log _{a} x{\small .}\) Найдите значение \(\displaystyle x,\) при котором \(\displaystyle f(x)=1{\small .}\)
\(\displaystyle x=\)
Чтобы найти значения \(\displaystyle x{\small ,}\) при которых \(\displaystyle f(x)=1{ \small ,}\)
- найдём неизвестные коэффициенты \(\displaystyle a\) и \(\displaystyle b{ \small ,}\)
- решим уравнение \(\displaystyle b+\log _{a} x=1{ \small .}\)
Заметим, что на графике функции \(\displaystyle f(x)=b+\log _{a} x\) отмечены точки с координатами \(\displaystyle (\color{blue}4;\color{blue}{-1})\) и \(\displaystyle (\color{green}2;\color{green}{-2}){ \small .}\)
Значит,
- при подстановке координат \(\displaystyle x=\color{blue}4\) и \(\displaystyle y=\color{blue}{-1}\) в уравнение \(\displaystyle y=b+\log _{a} x\) получим верное равенство;
- при подстановке координат\(\displaystyle x=\color{green}2\) и \(\displaystyle y=\color{green}{-2}\) в уравнение \(\displaystyle y=b+\log _{a} x\) получим верное равенство.
Таким образом, получаем систему логарифмических уравнений
\(\displaystyle \left\{\begin{aligned}\color{blue}{-1}&=b+\log _{a} \color{blue}{4}{ \small ,}\\\color{green}{-2}&=b+\log _{a} \color{green}{2}{ \small .}\end{aligned}\right. \)
Решим её.
1. Найдём область допустимых значений (ОДЗ).
\(\displaystyle \left\{\begin{aligned}a &> 0{\small ,}\\a\,&\cancel{=}\, 1{\small .}\end{aligned}\right.\)
2. Найдём возможные решения системы.
Выразим из первого уравнения \(\displaystyle b\) через \(\displaystyle a\):
\(\displaystyle b={-1-\log _{a} 4}{ \small .}\)
Подставим вместо \(\displaystyle b\) во второе уравнение выражение \(\displaystyle b=\color{magenta}{-1-\log _{a} 4}{ \small .}\)
Получим логарифмическое уравнение:
\(\displaystyle {-2=\color{magenta}{-1-\log _{a} 4}+\log _{a} 2}{ \small ,}\)
откуда
\(\displaystyle {\log _{a} 4-\log _{a} 2}=1{ \small ,}\)
\(\displaystyle \log _{a} \frac{4}{2}=1{ \small ,}\)
\(\displaystyle \log _{a} {2}=1{ \small ,}\)
Воспользуемся основным свойством логарифма. Это можно сделать, так как на ОДЗ \(\displaystyle a>0{ \small ,}\, a\,\cancel{=}\, 1{\small .}\)
Получим:
\(\displaystyle a^{\log _{a} {2}}=a^{1}{ \small ,}\)
\(\displaystyle a=2{ \small .}\)
Тогда
\(\displaystyle b=-1-\log _{a} 4 =-1-\log _{2} 4 =-1-2=-3{ \small .}\)
3. Проверим, принадлежат ли найденные значения ОДЗ.
\(\displaystyle a=2{ \small :}\) \(\displaystyle 2>0\) верно и \(\displaystyle 2\,\cancel{=}\,1\) верно – удовлетворяет ОДЗ.
Итак, решением системы уравнений является пара чисел:
\(\displaystyle a=2\) и \(\displaystyle b=-3{ \small .}\)
Таким образом, исходная функция имеет вид:
\(\displaystyle f(x)=-3+\log _{2} x{ \small .}\)
Найдём те значения \(\displaystyle x{ \small ,}\) при которых значения функции \(\displaystyle f(x)\) равны \(\displaystyle 1{ \small .}\)
Все такие точки удовлетворяют уравнению
\(\displaystyle 1=-3+\log _{2} x{\small , } \)
\(\displaystyle \log _{2} x=4{\small . } \)
По определению, \(\displaystyle \log_c v=u\) равносильно \(\displaystyle v=c^u{\small .} \)
Поэтому уравнение
\(\displaystyle \log _{2} x=4\) равносильно \(\displaystyle x=2^4{\small .}\)
То есть
\(\displaystyle x=16{\small . } \)
Ответ: \(\displaystyle x=16{\small .}\)