\(\displaystyle \sin(x)=\frac{1}{2}\) теңдеуінің шешімдері:
\(\displaystyle x_1=\frac{\pi}{6}+2\pi n\ , \, n\in \mathbb{Z} \)
және
\(\displaystyle x_2=\frac{5\pi}{6}+2\pi n\ , \, n\in \mathbb{Z} {\small .}\)
\(\displaystyle \sin(x)=-\frac{1}{2}\) теңдеуінің шешімдері:
\(\displaystyle x_1=\frac{7\pi}{6}+2\pi n, \, n\in \mathbb{Z}\)
және
\(\displaystyle x_2=\frac{11\pi}{6}+2\pi n, \, n\in \mathbb{Z}{ \small .}\)
- \(\displaystyle \color{black}{x_1=\frac{\pi}{6}+2\pi n, \, n\in \mathbb{Z}{\small,}}\)
- \(\displaystyle \color{black}{x_2=\frac{5\pi}{6}+2\pi n, \, n\in \mathbb{Z}{ \small .}}\)
Синус мәндері \(\displaystyle \rm OY{ \small }\) осьте орналасқандықтан, \(\displaystyle y=\frac{1 }{2}\) түзуді және тригонометриялық шеңберді кесіп өтеміз:
Екі шешім жиынтығын аламыз.
Тригонометриялық функциялардың мәндер кестесі
| \(\displaystyle \frac{\pi}{6}=30^{\circ}\) | \(\displaystyle \frac{\pi}{4}=45^{\circ}\) | \(\displaystyle \frac{\pi}{3}=60^{\circ}\) | |
| \(\displaystyle \sin\) | \(\displaystyle \frac{1}{2}\) | \(\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{1}{\sqrt{2}}\) | \(\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}\) |
| \(\displaystyle \cos\) | \(\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}\) | \(\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{1}{\sqrt{2}}\) | \(\displaystyle \frac{1}{2}\) |
\(\displaystyle \sin\left(\frac{\pi}{6}\right)=\frac{1}{2}{ \small }\) болғандықтан, шешімдердің бірінші жиынтығын аламыз:
 | \(\displaystyle x_1=\frac{\pi}{6}+2\pi n, \, n\in \mathbb{Z}{ \small .}\) |
Шешімдердің екінші жиынтығын табу үшін шеңбердегі нүктелердің симметриясын және нәтижесінде бұрыштардың теңдігін қолданамыз.
Сонда \(\displaystyle \frac{\pi}{6}\) және \(\displaystyle \pi\) бұрышын толықтыратын бұрыштың мәні \(\displaystyle \pi-\frac{\pi}{6}=\frac{5\pi}{6}{\small}\) тең болады.
Шешімдердің екінші жиынтығын аламыз:
 | \(\displaystyle x_2=\frac{5\pi}{6}+2\pi n, \, n\in \mathbb{Z}{ \small .}\) |
Осылайша, шешімдердің екі жиынтығын аламыз:
- \(\displaystyle x_1=\frac{\pi}{6}+2\pi n, \, n\in \mathbb{Z}\)
- \(\displaystyle x_2=\frac{5\pi}{6}+2\pi n, \, n\in \mathbb{Z}{ \small .}\)
- \(\displaystyle \color{black}{x_1=\frac{7\pi}{6}+2\pi n, \, n\in \mathbb{Z}{\small,}}\)
- \(\displaystyle \color{black}{x_2=\frac{11\pi}{6}+2\pi n, \, n\in \mathbb{Z}{ \small .}}\)
Синус мәндері \(\displaystyle \rm OY{ \small}\) осьте орналасқандықтан, \(\displaystyle y=-\frac{1 }{2}\) түзуді және тригонометриялық шеңберді кесіп өтеміз:
Екі нүктеге сәйкес шешімдердің екі жиынтығын аламыз.
\(\displaystyle \sin\left(\frac{\pi}{6}\right)=\frac{1 }{2}{ \small }\) тригонометриялық функциялардың мәндер кестесіне сәйкес
Содан кейін \(\displaystyle OA\) және \(\displaystyle OB{\small}\) сәулелердің бұрылу бұрыштарын табуға болады
- \(\displaystyle OA\) бұрылу бұрышы \(\displaystyle \pi+\frac{\pi}{6}=\frac{7\pi}{6}\) радианға тең.
- \(\displaystyle OB\) бұрылу бұрышы \(\displaystyle -\frac{\pi}{6}\) немесе \(\displaystyle 2\pi-\frac{\pi}{6}=\frac{11\pi}{6}\) радианға тең.
Сонымен, шешімдердің бірінші жиынтығы:
 | \(\displaystyle x_1=\frac{7\pi}{6}+2\pi n, \, n\in \mathbb{Z}{ \small .}\) |
Шешімдердің екінші жиынтығы:
 | \(\displaystyle x_2=\frac{11\pi}{6}+2\pi n, \, n\in \mathbb{Z}{ \small .}\) |
Осылайша, шешімдердің екі жиынтығын аламыз:
- \(\displaystyle x_1=\frac{7\pi}{6}+2\pi n, \, n\in \mathbb{Z}\)
- \(\displaystyle x_2=\frac{11\pi}{6}+2\pi n, \, n\in \mathbb{Z}{ \small .}\)