Уравнение \(\displaystyle \sin(x)=\frac{1}{2}\) имеет решения:
\(\displaystyle x_1=\frac{\pi}{6}+2\pi n\ , \, n\in \mathbb{Z} \)
и
\(\displaystyle x_2=\frac{5\pi}{6}+2\pi n\ , \, n\in \mathbb{Z} {\small .}\)
Уравнение \(\displaystyle \sin(x)=-\frac{1}{2}\) имеет решения:
\(\displaystyle x_1=\frac{7\pi}{6}+2\pi n, \, n\in \mathbb{Z}\)
и
\(\displaystyle x_2=\frac{11\pi}{6}+2\pi n, \, n\in \mathbb{Z}{ \small .}\)
- \(\displaystyle \color{black}{x_1=\frac{\pi}{6}+2\pi n, \, n\in \mathbb{Z}{\small,}}\)
- \(\displaystyle \color{black}{x_2=\frac{5\pi}{6}+2\pi n, \, n\in \mathbb{Z}{ \small .}}\)
Так как значения синуса лежат на оси \(\displaystyle \rm OY{ \small ,}\) то пересечем прямую \(\displaystyle y=\frac{1 }{2}\) и тригонометрическую окружность:
Получаем два набора решений.
Таблица значений тригонометрических функций
| \(\displaystyle \frac{\pi}{6}=30^{\circ}\) | \(\displaystyle \frac{\pi}{4}=45^{\circ}\) | \(\displaystyle \frac{\pi}{3}=60^{\circ}\) | |
| \(\displaystyle \sin\) | \(\displaystyle \frac{1}{2}\) | \(\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{1}{\sqrt{2}}\) | \(\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}\) |
| \(\displaystyle \cos\) | \(\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}\) | \(\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{1}{\sqrt{2}}\) | \(\displaystyle \frac{1}{2}\) |
Так как \(\displaystyle \sin\left(\frac{\pi}{6}\right)=\frac{1}{2}{ \small ,}\) то получаем первый набор решений:
 | \(\displaystyle x_1=\frac{\pi}{6}+2\pi n, \, n\in \mathbb{Z}{ \small .}\) |
Чтобы найти второй набор решений, воспользуемся симметричностью точек на окружности и, как следствие, равенством углов.
Тогда величина угла дополняющего угол \(\displaystyle \frac{\pi}{6}\) до \(\displaystyle \pi\) равна \(\displaystyle \pi-\frac{\pi}{6}=\frac{5\pi}{6}{\small:}\)
Получаем второй набор решений:
 | \(\displaystyle x_2=\frac{5\pi}{6}+2\pi n, \, n\in \mathbb{Z}{ \small .}\) |
Таким образом, получаем два набора решений:
- \(\displaystyle x_1=\frac{\pi}{6}+2\pi n, \, n\in \mathbb{Z}\)
- \(\displaystyle x_2=\frac{5\pi}{6}+2\pi n, \, n\in \mathbb{Z}{ \small .}\)
- \(\displaystyle \color{black}{x_1=\frac{7\pi}{6}+2\pi n, \, n\in \mathbb{Z}{\small,}}\)
- \(\displaystyle \color{black}{x_2=\frac{11\pi}{6}+2\pi n, \, n\in \mathbb{Z}{ \small .}}\)
Так как значения синуса лежат на оси \(\displaystyle \rm OY{ \small ,}\) то пересечем прямую \(\displaystyle y=-\frac{1 }{2}\) и тригонометрическую окружность:
Получаем два набора решений, соответствующих двум точкам.
Согласно таблице значений тригонометрических функций \(\displaystyle \sin\left(\frac{\pi}{6}\right)=\frac{1 }{2}{ \small .}\)
Тогда можно найти углы поворотов лучей \(\displaystyle OA\) и \(\displaystyle OB{\small.}\)
- Угол поворота \(\displaystyle OA\) равен \(\displaystyle \pi+\frac{\pi}{6}=\frac{7\pi}{6}\) радиан.
- Угол поворота \(\displaystyle OB\) равен \(\displaystyle -\frac{\pi}{6}\) или \(\displaystyle 2\pi-\frac{\pi}{6}=\frac{11\pi}{6}\) радиан.
Значит, первый набор решений:
 | \(\displaystyle x_1=\frac{7\pi}{6}+2\pi n, \, n\in \mathbb{Z}{ \small .}\) |
Второй набор решений:
 | \(\displaystyle x_2=\frac{11\pi}{6}+2\pi n, \, n\in \mathbb{Z}{ \small .}\) |
Таким образом, получаем два набора решений:
- \(\displaystyle x_1=\frac{7\pi}{6}+2\pi n, \, n\in \mathbb{Z}\)
- \(\displaystyle x_2=\frac{11\pi}{6}+2\pi n, \, n\in \mathbb{Z}{ \small .}\)