\(\displaystyle \left(25^{\cos(x)}\right)^{\sin(x)}=5^{\sqrt{2}\sin(x)}\) теңдеуі \(\displaystyle \sin(x)=0\) немесе \(\displaystyle \cos(x)=\frac{\sqrt{2}}{2}{\small}\) екі теңдеуге тең:
\(\displaystyle \sin(x)=0\) теңдеуінің шешімдері:
\(\displaystyle x_1=2\pi n\ , \, n\in \mathbb{Z} \) және \(\displaystyle x_2=\pi+2\pi n\ , \, n\in \mathbb{Z} {\small .}\)
\(\displaystyle \sin(x)=0\) аралықтан \(\displaystyle \left[2\pi;\,\frac{7\pi}{2}\right]{\small}\) теңдеудің түбірлерін таңдаңыз.
\(\displaystyle x_1=2\pi\)
\(\displaystyle x_2=3\pi\)
\(\displaystyle \left[2\pi;\, \frac{7\pi}{2}\right]{\small}\) кесіндісінен түбірлерді таңдайық.
Біз \(\displaystyle n\) бүтін мәндерді іздейміз
\(\displaystyle 2\pi\leqslant x_1 \leqslant \frac{7\pi}{2}{ \small .}\)
Яғни
\(\displaystyle 2\pi\leqslant2\pi n\leqslant\frac{7\pi}{2}{ \small .}\)
Теңсіздікті \(\displaystyle \pi{\small}\) оң санға бөлейік:
\(\displaystyle 2\leqslant 2n\leqslant \frac{7}{2}{\small .}\)
\(\displaystyle n{ \small}\) белгілеу үшін теңсіздіктерді \(\displaystyle 2{\small}\) бөлеміз:
\(\displaystyle 1\leqslant n \leqslant \frac{7}{4}{ \small .}\)
Бұл аралықтағы жалғыз бүтін сан \(\displaystyle 1{\small,}\) яғни \(\displaystyle n=1{\small .}\)
\(\displaystyle n=1\) ауыстыру арқылы \(\displaystyle 2\pi n{ \small ,}\) аламыз:
\(\displaystyle 2\pi \cdot 1=2\pi{\small .}\)
Біз \(\displaystyle n\) бүтін мәндерді іздейміз
\(\displaystyle 2\pi\leqslant x_2 \leqslant \frac{7\pi}{2}{ \small .}\)
Яғни
\(\displaystyle 2\pi\leqslant\pi+2\pi n\leqslant \frac{7\pi}{2}{ \small .}\)
Теңсіздікті \(\displaystyle \pi{\small}\) оң санға бөлейік:
\(\displaystyle 2\leqslant1+ 2n\leqslant \frac{7}{2}{\small .}\)
Әр бөліктен \(\displaystyle 1{\small}\) алып тастаймыз:
\(\displaystyle 2-1\leqslant 2n\leqslant \frac{7\pi}{2}-1{\small ,}\)
\(\displaystyle 1\leqslant 2n\leqslant \frac{5}{2}{\small .}\)
\(\displaystyle n{ \small }\) белгілеу үшін теңсіздіктерді \(\displaystyle 2{\small}\) бөлеміз:
\(\displaystyle \frac{1}{2}\leqslant n \leqslant \frac{5}{4}{ \small .}\)
Бұл аралықтағы жалғыз бүтін сан \(\displaystyle 1{\small,}\) яғни \(\displaystyle n=1{\small .}\)
\(\displaystyle n=1\) ауыстыру арқылы \(\displaystyle \pi+2\pi n{ \small ,}\) аламыз:
\(\displaystyle \pi+2\pi \cdot 1=3\pi{\small .}\)
Осылайша, \(\displaystyle \sin(x)=0\) аралықтан \(\displaystyle \left[2\pi;\, \frac{7\pi}{2}\right]\) теңдеуінің шешімдері \(\displaystyle 2\pi\) және \(\displaystyle 3\pi{\small .}\)
Жауабы: \(\displaystyle 2\pi\) және \(\displaystyle 3\pi{\small .}\)