Уравнение \(\displaystyle \left(25^{\cos(x)}\right)^{\sin(x)}=5^{\sqrt{2}\sin(x)}\) равносильно двум уравнениям:
\(\displaystyle \sin(x)=0\) или \(\displaystyle \cos(x)=\frac{\sqrt{2}}{2}{\small .}\)
Уравнение \(\displaystyle \sin(x)=0\) имеет решения:
\(\displaystyle x_1=2\pi n\ , \, n\in \mathbb{Z} \) и \(\displaystyle x_2=\pi+2\pi n\ , \, n\in \mathbb{Z} {\small .}\)
Выберите корни уравнения \(\displaystyle \sin(x)=0\) из промежутка \(\displaystyle \left[2\pi;\,\frac{7\pi}{2}\right]{\small.}\)
\(\displaystyle x_1=2\pi\)
\(\displaystyle x_2=3\pi\)
Выберем корни из отрезка \(\displaystyle \left[2\pi;\, \frac{7\pi}{2}\right]{\small .}\)
Мы ищем целые значения \(\displaystyle n\) такие, что
\(\displaystyle 2\pi\leqslant x_1 \leqslant \frac{7\pi}{2}{ \small .}\)
То есть
\(\displaystyle 2\pi\leqslant2\pi n\leqslant\frac{7\pi}{2}{ \small .}\)
Разделим неравенство на положительное число \(\displaystyle \pi{\small :}\)
\(\displaystyle 2\leqslant 2n\leqslant \frac{7}{2}{\small .}\)
Чтобы выделить \(\displaystyle n{ \small ,}\) разделим неравенства на \(\displaystyle 2{\small : }\)
\(\displaystyle 1\leqslant n \leqslant \frac{7}{4}{ \small .}\)
Единственное целое число в этом промежутке – это \(\displaystyle 1{\small,}\) то есть \(\displaystyle n=1{\small .}\)
Подставляя \(\displaystyle n=1\) в \(\displaystyle 2\pi n{ \small ,}\) получаем:
\(\displaystyle 2\pi \cdot 1=2\pi{\small .}\)
Мы ищем целые значения \(\displaystyle n\) такие, что
\(\displaystyle 2\pi\leqslant x_2 \leqslant \frac{7\pi}{2}{ \small .}\)
То есть
\(\displaystyle 2\pi\leqslant\pi+2\pi n\leqslant \frac{7\pi}{2}{ \small .}\)
Разделим неравенство на положительное число \(\displaystyle \pi{\small :}\)
\(\displaystyle 2\leqslant1+ 2n\leqslant \frac{7}{2}{\small .}\)
Вычтем из каждой части \(\displaystyle 1{\small:}\)
\(\displaystyle 2-1\leqslant 2n\leqslant \frac{7\pi}{2}-1{\small ,}\)
\(\displaystyle 1\leqslant 2n\leqslant \frac{5}{2}{\small .}\)
Чтобы выделить \(\displaystyle n{ \small ,}\) разделим неравенства на \(\displaystyle 2{\small : }\)
\(\displaystyle \frac{1}{2}\leqslant n \leqslant \frac{5}{4}{ \small .}\)
Единственное целое число в этом промежутке – это \(\displaystyle 1{\small,}\) то есть \(\displaystyle n=1{\small .}\)
Подставляя \(\displaystyle n=1\) в \(\displaystyle \pi+2\pi n{ \small ,}\) получаем:
\(\displaystyle \pi+2\pi \cdot 1=3\pi{\small .}\)
Таким образом, уравнение \(\displaystyle \sin(x)=0\) на отрезке \(\displaystyle \left[2\pi;\, \frac{7\pi}{2}\right]\) имеет решения \(\displaystyle 2\pi\) и \(\displaystyle 3\pi{\small .}\)
Ответ: \(\displaystyle 2\pi\) и \(\displaystyle 3\pi{\small .}\)