\(\displaystyle \left(25^{\cos(x)}\right)^{\sin(x)}=5^{\sqrt{2}\sin(x)}\) равносильно двум уравнениям:\(\displaystyle \sin(x)=0\) немесе \(\displaystyle \cos(x)=\frac{\sqrt{2}}{2}{\small}\) екі теңдеуге тең:
\(\displaystyle \cos(x)=\frac{\sqrt{2}}{2}\) теңдеуінің шешімдері:
\(\displaystyle x_1=\frac{\pi}{4}+2\pi n,\,n\in\mathbb{Z}\) және \(\displaystyle x_2=-\frac{\pi}{4}+2\pi n\ , \, n\in \mathbb{Z} {\small .}\)
\(\displaystyle \cos(x)=\frac{\sqrt{2}}{2}\) аралықтан \(\displaystyle \left[2\pi;\,\frac{7\pi}{2}\right]{\small}\) теңдеудің түбірлерін таңдаңыз.
\(\displaystyle x_1=\frac{9\pi}{4}\)
\(\displaystyle \left[{2\pi};\,{\frac{7\pi}{2}}\right]{\small}\) кесіндісінен түбірлерді таңдайық.
Біз \(\displaystyle n\) бүтін мәндерді іздейміз
\(\displaystyle 2\pi\leqslant x_1 \leqslant \frac{7\pi}{2}{ \small .}\)
Яғни
\(\displaystyle 2\pi\leqslant \frac{\pi}{4}+2\pi n\leqslant \frac{7\pi}{2}{ \small .}\)
Теңсіздікті \(\displaystyle \pi{\small}\) оң санға бөлейік:
\(\displaystyle 2\leqslant \frac{1}{4}+2n\leqslant \frac{7}{2}{\small .}\)
Вычтем из каждой части \(\displaystyle \frac{1}{4}{\small :}\)
\(\displaystyle 2- \frac{1}{4}\leqslant 2n\leqslant \frac{7}{2}-\frac{1}{4} {\small ,}\)
\(\displaystyle \frac{7}{4}\leqslant2n\leqslant \frac{13}{4}{ \small .}\)
\(\displaystyle n{ \small}\) белгілеу үшін теңсіздіктерді \(\displaystyle 2{\small }\) бөлеміз:
\(\displaystyle \frac{7}{8}\leqslant n \leqslant \frac{13}{8}{ \small .}\)
Бұл аралықтағы жалғыз бүтін сан \(\displaystyle 1,\) яғни \(\displaystyle n=1{\small .}\)
\\(\displaystyle n=1\) ауыстыру арқылы \(\displaystyle \frac{\pi}{4}+2\pi n{ \small ,}\) аламыз:
\(\displaystyle \frac{\pi}{4}+2\pi \cdot 1=\frac{9\pi}{4}{\small .}\)
Біз \(\displaystyle n\) бүтін мәндерді іздейміз
\(\displaystyle 2\pi\leqslant x_2 \leqslant \frac{7\pi}{2}{ \small .}\)
Яғни
\(\displaystyle 2\pi\leqslant -\frac{\pi}{4}+2\pi n\leqslant \frac{7\pi}{2}{ \small .}\)
Теңсіздікті \(\displaystyle \pi{\small }\) оң санға бөлейік:
\(\displaystyle 2\leqslant -\frac{1}{4}+2n\leqslant \frac{7}{2}{\small .}\)
Әр бөліктен \(\displaystyle \frac{1}{4}{\small}\) алып тастаймыз:
\(\displaystyle 2+ \frac{1}{4}\leqslant 2n\leqslant \frac{7}{2}+\frac{1}{4} {\small ,}\)
\(\displaystyle \frac{9}{4}\leqslant2n\leqslant \frac{15}{4}{ \small .}\)
\(\displaystyle n{ \small}\) белгілеу үшін теңсіздіктерді \(\displaystyle 2{\small }\) бөлеміз:
\(\displaystyle \frac{9}{8}\leqslant n \leqslant \frac{15}{8}{ \small ,}\)
Бұл аралықта бүтін сандар ЖОҚ.
Осылайша, \(\displaystyle \cos(x)=\frac{\sqrt{2}}{2}\) теңдеуі \(\displaystyle \left[2\pi;\, \frac{7\pi}{2}\right]\) кесіндісінде \(\displaystyle \frac{9\pi}{4}{\small}\) бір шешімі бар.
Жауабы: \(\displaystyle \frac{9\pi}{4}{\small.}\)