Уравнение
\(\displaystyle 8\sin^2(x)-2\sqrt{3}\cos\left(\frac{\pi}{2}-x \right)-9=0\)
равносильно двум элементарным тригонометрическим уравнениям:
\(\displaystyle \sin(x)=-\frac{\sqrt{3}}{2}\) или \(\displaystyle \sin(x)=\frac{3\sqrt{3}}{4}{\small.}\)
Упростим уравнение, применив формулу приведения.
Получаем:
\(\displaystyle 8\sin^2(x)-2\sqrt{3}\color{blue}{\cos\left(\frac{\pi}{2}-x \right)}-9=0{\small ,}\)
\(\displaystyle 8\sin^2(x)-2\sqrt{3}\color{blue}{\sin(x)}-9=0{\small .}\)
Получилось квадратное уравнение относительно \(\displaystyle \sin(x){\small .}\)
Сделаем замену \(\displaystyle y=\sin x{\small :}\)
\(\displaystyle 8y^2-2\sqrt{3}y-9=0{\small .}\)
\(\displaystyle y_1=-\frac{\sqrt{3}}{2}{\small,}\)
\(\displaystyle y_2=\frac{3\sqrt{3}}{4}{\small.}\)
Решим квадратное уравнение.
Дискриминант:
\(\displaystyle {\rm D}=(2\sqrt{3})^2-4\cdot 8\cdot (-9)=12+288=300\)
и
\(\displaystyle \sqrt{\rm D}=\sqrt{300}=10\sqrt{3}{\small.}\)
Тогда корни:
\(\displaystyle y_1=\frac{2\sqrt{3}-10\sqrt{3}}{2\cdot 8}=\frac{-8\sqrt{3}}{16}=-\frac{\sqrt{3}}{2}{\small,}\)
\(\displaystyle y_2=\frac{2\sqrt{3}+10\sqrt{3}}{2\cdot 8}=\frac{12\sqrt{3}}{16}=\frac{3\sqrt{3}}{4}{\small.}\)
Таким образом,
\(\displaystyle y_1=-\frac{\sqrt{3}}{2}\) или \(\displaystyle y_2=\frac{3\sqrt{3}}{4}{\small.}\)
Так как \(\displaystyle y=\sin(x){ \small ,}\) то получаем элементарные тригонометрические уравнения:
\(\displaystyle \sin(x)=-\frac{\sqrt{3}}{2}\) и \(\displaystyle \sin(x)=\frac{3\sqrt{3}}{4}{\small.}\)