\\(\displaystyle 8\sin^2(x)-2\sqrt{3}\cos\left(\frac{\pi}{2}-x \right)-9=0\) теңдеуі:
\(\displaystyle \sin(x)=-\frac{\sqrt{3}}{2}\) немесе \(\displaystyle \sin(x)=\frac{3\sqrt{3}}{4}{\small}\) екі қарапайым тригонометриялық теңдеуге сәйкес келеді.
\(\displaystyle \sin(x)=-\frac{\sqrt{3}}{2}\) теңдеуінің шешімдері:
- \(\displaystyle x_1=\frac{4\pi}{3}+2\pi n,\ , \, n\in \mathbb{Z} \)
- \(\displaystyle x_2=\frac{5\pi}{3}+2\pi n,\ , \, n\in \mathbb{Z} {\small .}\)
\(\displaystyle \sin(x)=-\frac{\sqrt{3}}{2}\) аралықтан \(\displaystyle \left[-\frac{5\pi}{2};\, -\pi\right]{\small}\) теңдеудің түбірлерін таңдаңыз.
\(\displaystyle x_1=-\frac{7\pi}{3}\)
\(\displaystyle \left[-\frac{5\pi}{2};\, -\pi\right]{\small}\) кесіндіден түбірлерді таңдаймыз
Біз \(\displaystyle n\) бүтін мәндерді іздейміз
\(\displaystyle -\frac{5\pi}{2}\leqslant x_1 \leqslant -\pi{ \small .}\)
Яғни
\(\displaystyle -\frac{5\pi}{2}\leqslant \frac{4\pi}{3}+2\pi n\leqslant -\pi{ \small .}\)
Теңсіздікті \(\displaystyle \pi{\small}\) оң санға бөлейік:
\(\displaystyle -\frac{5}{2}\leqslant \frac{4}{3}+2n\leqslant -\pi{\small .}\)
Әр бөліктен \(\displaystyle \frac{4}{3}{\small}\) алып тастаймыз:
\(\displaystyle -\frac{5}{2}- \frac{4}{3}\leqslant 2n\leqslant -1- \frac{4}{3}{ \small ,}\)
\(\displaystyle -\frac{23}{6}\leqslant2n\leqslant -\frac{7}{3}{ \small .}\)
\(\displaystyle n{ \small}\) белгілеу үшін теңсіздіктерді \(\displaystyle 2{\small}\) бөлеміз:
\(\displaystyle -\frac{23}{12}\leqslant n \leqslant -\frac{7}{6}{ \small ,}\)
Бұл аралықта бүтін сандар ЖОҚ.
Біз \(\displaystyle n\) бүтін мәндерді іздейміз
\(\displaystyle -\frac{5\pi}{2}\leqslant x_2 \leqslant -\pi{ \small .}\)
Яғни
\(\displaystyle -\frac{5\pi}{2}\leqslant \frac{5\pi}{3}+2\pi n\leqslant -\pi{ \small .}\)
Теңсіздікті \(\displaystyle \pi{\small}\) оң санға бөлейік:
\(\displaystyle -\frac{5}{2}\leqslant \frac{5}{3}+2n\leqslant -\pi{\small .}\)
Әр бөліктен \(\displaystyle \frac{5}{3}{\small}\) алып тастаймыз:
\(\displaystyle -\frac{5}{2}- \frac{5}{3}\leqslant 2n\leqslant -1- \frac{5}{3}{ \small ,}\)
\(\displaystyle -\frac{25}{6}\leqslant 2n \leqslant -\frac{8}{3}{ \small .}\)
\(\displaystyle n{ \small}\) белгілеу үшін теңсіздіктерді \(\displaystyle 2{\small}\) бөлеміз:
\(\displaystyle -\frac{25}{12}\leqslant n \leqslant -\frac{4}{3}{ \small ,}\)
Бұл аралықтағы жалғыз бүтін сан \(\displaystyle -2,\) яғни \(\displaystyle n=-2{\small .}\)
\(\displaystyle n=-2\) ауыстыру арқылы \(\displaystyle \frac{5\pi}{3}+2\pi n{ \small ,}\) аламыз:
\(\displaystyle \frac{5\pi}{3}+2\pi \cdot (-2)=-\frac{7\pi}{3}{\small .}\)
Осылайша, \(\displaystyle \sin(x)=-\frac{\sqrt{3}}{2}\) кесіндідегі \(\displaystyle \left[-\frac{5\pi}{2};\, -\pi\right]\) теңдеуінің \(\displaystyle -\frac{7\pi}{3}{\small}\) шешімі бар.
Жауабы: \(\displaystyle -\frac{7\pi}{3}{\small .}\)