Уравнение \(\displaystyle 8\sin^2(x)-2\sqrt{3}\cos\left(\frac{\pi}{2}-x \right)-9=0\) равносильно двум элементарным тригонометрическим уравнениям:
\(\displaystyle \sin(x)=-\frac{\sqrt{3}}{2}\) или \(\displaystyle \sin(x)=\frac{3\sqrt{3}}{4}{\small.}\)
Уравнение \(\displaystyle \sin(x)=-\frac{\sqrt{3}}{2}\) имеет решения:
- \(\displaystyle x_1=\frac{4\pi}{3}+2\pi n,\ , \, n\in \mathbb{Z} \)
- \(\displaystyle x_2=\frac{5\pi}{3}+2\pi n,\ , \, n\in \mathbb{Z} {\small .}\)
Выберите корни уравнения \(\displaystyle \sin(x)=-\frac{\sqrt{3}}{2}\) из промежутка \(\displaystyle \left[-\frac{5\pi}{2};\, -\pi\right]{\small.}\)
\(\displaystyle x_1=-\frac{7\pi}{3}\)
Выберем корни из отрезка \(\displaystyle \left[-\frac{5\pi}{2};\, -\pi\right]{\small.}\)
Мы ищем целые значения \(\displaystyle n\) такие, что
\(\displaystyle -\frac{5\pi}{2}\leqslant x_1 \leqslant -\pi{ \small .}\)
То есть
\(\displaystyle -\frac{5\pi}{2}\leqslant \frac{4\pi}{3}+2\pi n\leqslant -\pi{ \small .}\)
Разделим неравенство на положительное число \(\displaystyle \pi{\small :}\)
\(\displaystyle -\frac{5}{2}\leqslant \frac{4}{3}+2n\leqslant -\pi{\small .}\)
Вычтем из каждой части \(\displaystyle \frac{4}{3}{\small :}\)
\(\displaystyle -\frac{5}{2}- \frac{4}{3}\leqslant 2n\leqslant -1- \frac{4}{3}{ \small ,}\)
\(\displaystyle -\frac{23}{6}\leqslant2n\leqslant -\frac{7}{3}{ \small .}\)
Чтобы выделить \(\displaystyle n{ \small ,}\) разделим неравенства на \(\displaystyle 2{\small : }\)
\(\displaystyle -\frac{23}{12}\leqslant n \leqslant -\frac{7}{6}{ \small ,}\)
Целых чисел в данном промежутке НЕТ.
Мы ищем целые значения \(\displaystyle n\) такие, что
\(\displaystyle -\frac{5\pi}{2}\leqslant x_2 \leqslant -\pi{ \small .}\)
То есть
\(\displaystyle -\frac{5\pi}{2}\leqslant \frac{5\pi}{3}+2\pi n\leqslant -\pi{ \small .}\)
Разделим неравенство на положительное число \(\displaystyle \pi{\small :}\)
\(\displaystyle -\frac{5}{2}\leqslant \frac{5}{3}+2n\leqslant -\pi{\small .}\)
Вычтем из каждой части \(\displaystyle \frac{5}{3}{\small :}\)
\(\displaystyle -\frac{5}{2}- \frac{5}{3}\leqslant 2n\leqslant -1- \frac{5}{3}{ \small ,}\)
\(\displaystyle -\frac{25}{6}\leqslant 2n \leqslant -\frac{8}{3}{ \small .}\)
Чтобы выделить \(\displaystyle n{ \small ,}\) разделим неравенства на \(\displaystyle 2{\small : }\)
\(\displaystyle -\frac{25}{12}\leqslant n \leqslant -\frac{4}{3}{ \small ,}\)
Единственное целое число в этом промежутке – это \(\displaystyle -2,\) то есть \(\displaystyle n=-2{\small .}\)
Подставляя \(\displaystyle n=-2\) в \(\displaystyle \frac{5\pi}{3}+2\pi n{ \small ,}\) получаем:
\(\displaystyle \frac{5\pi}{3}+2\pi \cdot (-2)=-\frac{7\pi}{3}{\small .}\)
Таким образом, уравнение \(\displaystyle \sin(x)=-\frac{\sqrt{3}}{2}\) на отрезке \(\displaystyle \left[-\frac{5\pi}{2};\, -\pi\right]\) имеет решение \(\displaystyle -\frac{7\pi}{3}{\small .}\)
Ответ: \(\displaystyle -\frac{7\pi}{3}{\small .}\)