Бізге берілген өрнек

\(\displaystyle 3x^{\,5}+12x^{\, 3}+12x+x^{\,4}+4x^{\,2}+4\)

алты қосылғыштан тұратындықтан, ол екімүшенің үшмүшеге көбейтіндісі деп болжауға болады. Яғни, көбейткіштерге жіктеу үшін қосылғыштарды олардың әрқайсысында үш қосылғыштан екі бөлікке бөлу керек.

Бастапқы өрнекте қосылғыштар табиғи түрде екі бөлікке топтастырылғандықтан:

\(\displaystyle (3x^{\,5}+12x^{\, 3}+12x) + (x^{\,4}+4x^{\,2}+4){\small , }\)

онда осы бөліктерді көбейткіштерге жіктеп көрейік.

Алдымен \(\displaystyle (3x^{\,5}+12x^{\, 3}+12x){\small }\) бірінші бөлігін көбейткіштерге жіктейік. 

\(\displaystyle 3x \) ортақ көбейткішін жақшаның сыртына шығарайық:

\(\displaystyle 3x^{\,5}+12x^{\, 3}+12x=\color{red}{ 3x}\left(\frac{3x^{\,5}}{\color{red}{ 3x}}+\frac{12x^{\,3}}{\color{red}{ 3x}}+\frac{12x}{\color{red}{ 3x}}\right)=3x\left( x^{\,4}+4x^{\,2}+4 \right){\small . }\)

\(\displaystyle (x^{\,4}+4x^{\,2}+4) \) екінші бөлігінде ортақ көбейткіш бірге тең, сондықтан жақшаның сыртына ештеңе шығарудың қажеті жоқ.             

Бастапқы жіктеуге орала отырып, келесіні аламыз:

\(\displaystyle 3x^{\,5}+12x^{\, 3}+12x+x^{\,4}+4x^{\,2}+4=3x\left( x^{\,4}+4x^{\,2}+4 \right)+\left(x^{\,4}+4x^{\,2}+4\right){\small . }\)

Алынған өрнектің екі бөлігінде де \(\displaystyle \left(x^{\,4}+4x^{\,2}+4\right){\small } \) ортақ көбейткіші бар екенін көреміз.  

Оны жақшаның сыртына шығарайық:

\(\displaystyle 3x\color{blue}{ \left( x^{\,4}+4x^{\,2}+4 \right)}+\color{blue}{ \left(x^{\,4}+4x^{\,2}+4\right)}=\color{blue}{ \left(x^{\,4}+4x^{\,2}+4\right)}(3x+1){\small . } \)

Енді \(\displaystyle \left(x^{\,4}+4x^{\,2}+4\right) \) өрнегі қосындының квадраты екенін ескерейік. Оны ықшамдайық: 

\(\displaystyle \left(x^{\,4}+4x^{\,2}+4\right)(3x+1)= \left(\left(x^{\,2}\right)^2+2\cdot x^{\,2}\cdot 2+2^2\right)(3x+1)= \left(x^{\,2}+2\right)^2(3x+1){\small . } \)

Осылайша,

\(\displaystyle 3x^{\,5}+12x^{\, 3}+12x+x^{\,4}+4x^{\,2}+4= \left(x^{\,2}+2\right)^2(3x+1){\small . }\)

Жауабы: \(\displaystyle \left(x^{\,2}+2\right)^2(3x+1){\small . } \)