Поверните устройство

Поверните устройство

Skip to main content

Теория: Лекция: Основные свойства неравенств

Задание

Если для положительных чисел \(\displaystyle a,\, b\) верно, что

\(\displaystyle a^{\,n}<b^{\,n}\) для некоторого натурального числа \(\displaystyle n{\small ,}\)

то

\(\displaystyle a<b{\small .}\)

Решение

Рассмотрим все возможные варианты:

  • \(\displaystyle a<b {\small ,}\)
  • \(\displaystyle a=b{\small ,}\)
  • \(\displaystyle a>b{\small .}\)

Используя правило:

Правило

Если положительные числа \(\displaystyle a\) и \(\displaystyle b{\small ,}\) такие, что \(\displaystyle a<b {\small ,}\) то

\(\displaystyle a^{\, n}<b^{\, n} {\small ,}\)

для любого натурального числа \(\displaystyle n{\small .}\)

Получаем:

  • Если \(\displaystyle a<b{\small ,}\) то  \(\displaystyle a^{\,n}<b^{\,n}{\small .}\) 
  • Если \(\displaystyle a=b{\small ,}\) то \(\displaystyle a^{\,n}=b^{\,n}{\small .}\) 
  • Если \(\displaystyle b<a{\small ,}\) то \(\displaystyle b^{\,n}<a^{\,n}{\small .}\) 

Таким образом, возможен только один случай, а именно 

\(\displaystyle a<b{\small .}\)