Поверните устройство

Поверните устройство

Skip to main content

Теория: Лекция: Основные свойства неравенств

Задание

Правило

"Свойство транзитивности"

Если для чисел \(\displaystyle \color{blue}{a},\, \color{green}{b}\) и \(\displaystyle c\) верно, что

\(\displaystyle \color{blue}{a}<\color{green}{b}\) и \(\displaystyle \color{green}{b}<c{\small ,}\)

то

\(\displaystyle \color{blue}{a}<c\)

Геометрическая интерпретация.

Точка с координатой \(\displaystyle \color{green}{b}\) лежит правее точки с координатой \(\displaystyle \color{blue}{a}\) и точка с координатой \(\displaystyle c\) лежит правее точки с координатой \(\displaystyle \color{green}{b}{\small .}\) Тогда точка с координатой \(\displaystyle c\) лежит правее точки с координатой \(\displaystyle \color{blue}{a}\,{\small :}\)

Решение

Доказательство.

Так как \(\displaystyle \color{blue}{a}<\color{green}{b}{\small ,}\) то \(\displaystyle \color{green}{b}-\color{blue}{a}>0{\small .}\) Так как \(\displaystyle \color{green}{b}<c{\small ,}\) то \(\displaystyle c-\color{green}{b}>0{\small .}\)

Сумма двух положительных чисел – положительное число. Поэтому

\(\displaystyle (c-\color{green}{b}\,)+(\color{green}{b}-\color{blue}{a}\,)>0{\small .}\)

Раскрывая скобки, получаем:

\(\displaystyle c-\color{green}{b}+\color{green}{b}-\color{blue}{a}>0{\small .}\)

Сокращая \(\displaystyle \color{green}{b}{\small , }\) получаем

\(\displaystyle c-\color{blue}{a}>0{\small ,}\)

то есть

\(\displaystyle c>\color{blue}{a}\) или \(\displaystyle \color{blue}{a}<c{\small .}\)