\(\displaystyle a\) және \(\displaystyle b\) оң сандары үшін \(\displaystyle a^{\,2}<b^{\,2}{\small }\) екені белгілі. Салыстырыңыз:
\(\displaystyle a\)\(\displaystyle b\)
Барлық мүмкін нұсқаларды қарастырайық:
- \(\displaystyle a<b {\small ,}\)
- \(\displaystyle a=b{\small ,}\)
- \(\displaystyle a>b{\small .}\)
Бізде:
- Егер \(\displaystyle a<b{\small }\) болса, онда \(\displaystyle \color{blue}{a}<\color{green}{b}\) және \(\displaystyle \color{blue}{a}<\color{green}{b}{\small }\) теңсіздіктер көбейтіндісінің ережесін қолдана отырып, \(\displaystyle \color{blue}{a}\cdot \color{blue}{a}<\color{green}{b} \cdot \color{green}{b}{\small }\) аламыз, яғни \(\displaystyle a^{\,2}<b^{\,2}{\small .}\)
- Егер \(\displaystyle a=b{\small }\) болса, онда \(\displaystyle a^{\,2}=b^{\,2}{\small .}\)
- Егер \(\displaystyle b<a{\small }\)болса, онда \(\displaystyle \color{blue}{b}<\color{green}{a}\) және \(\displaystyle \color{blue}{b}<\color{green}{a}{\small }\) теңсіздіктер көбейтіндісінің ережесін қолдана отырып, \(\displaystyle \color{blue}{b}\cdot \color{blue}{b}<\color{green}{a} \cdot \color{green}{a}{\small }\) аламыз, яғни \(\displaystyle b^{\,2}<a^{\,2}{\small .}\)
Осылайша, тек бір ғана жағдай болуы мүмкін, атап айтқанда
\(\displaystyle a<b{\small .}\)
Жауабы: \(\displaystyle a<b{\small .}\)
\(\displaystyle a^{\,2}<b^{\,2}{\small }\) екені белгілі \(\displaystyle b^{\,2} \) сол жаққа ауыстырайық:
\(\displaystyle a^{\,2}-b^{\,2}<0{\small .}\)
Сол жақта алынған өрнекті квадраттар айырмасының формуласы бойынша жіктейміз:
\(\displaystyle (a-b\,)(a+b\,)<0{\small .}\)
Себебі шарт бойынша \(\displaystyle a>0 \) және \(\displaystyle b>0{\small } \) болғандықтан, онда \(\displaystyle a+b>0{\small , } \) яғни \(\displaystyle a+b\) – оң сан.
\(\displaystyle (a-b\,)(a+b\,)<0\) теңсіздігін \(\displaystyle a+b{\small }\) оң санына бөлейік. Төмендегіні аламыз:
\(\displaystyle a-b\,<0\)
және, демек \(\displaystyle a<b{\small . } \)
Жауабы: \(\displaystyle a<b{\small .}\)