Кез келген \(\displaystyle a,\, b,\, с\) және \(\displaystyle x\) сандары үшін өрнектің дәреже көрсеткіштерін табыңыз, егер (b-12c),cancel=, 0 болса:
| \(\displaystyle (xc)^{2}\cdot (a+b)^{3} \cdot (a+b)^{2}\cdot (xc)\cdot (a+b)^{16}\cdot (xc)^{8} = \) |
| \(\displaystyle = (a+b)\) | \(\displaystyle \cdot \,\,(b-12c)\) | \(\displaystyle \cdot \,\,(xc)\) |
Дәреженің көбейтіндісі
\(\displaystyle a\) – сан болсын, \(\displaystyle n,\, m\) – натурал сандар, онда
\(\displaystyle {\bf a^n\cdot a^m= a^{n+m}}.\)
Аз ресми: бірдей негіздері бар дәрежелерді көбейту кезінде дәреже көрсеткіштері қосылады.
Алдымен негіздері бірдей өрнектерді топтастырамыз:
\(\displaystyle \begin{array}{c}(xc)^{2}\cdot (a+b)^{3} \cdot (a+b)^{2}\cdot (xc)\cdot (a+b)^{16}\cdot (xc)^{8}= \\= \color{blue}{(xc)}^{2} \cdot \color{red}{(a+b)}^{3} \cdot \color{red}{(a+b)}^{2}\cdot \color{blue}{(xc)}\cdot \color{red}{(a+b)}^{16}\cdot \color{blue}{(xc)}^{8}= \\= ({\color{red}{(a+b)}}^{3}\cdot {\color{red}{(a+b)}}^{2}\cdot {\color{red}{(a+b)}}^{16})\cdot ({\color{blue}{(xc)}}^{2}\cdot{\color{blue}{(xc)}}\cdot { \color{blue}{(xc)}}^{8}).\\\end{array}\)
Одан кейін дәрежелерді қосу ережесін пайдаланамыз:
\(\displaystyle ({\color{red}{(a+b)}}^{3}\cdot {\color{red}{(a+b)}}^{2}\cdot {\color{red}{(a+b)}}^{16})\cdot ({\color{blue}{(xc)}}^{2}\cdot {\color{blue}{(xc)}}\cdot {\color{blue}{(xc)}}^{8})={\color{red}{(a+b)}}^{3+2+16}\cdot {\color{blue}{(xc)}}^{2+1+8}=\)
\(\displaystyle ={\color{red}{(a+b)}}^{21}\cdot {\color{blue}{(xc)}}^{11}\)
Алынған көбейтіндіде \(\displaystyle (a+b)\) және \(\displaystyle (xc)\), бар, бірақ \(\displaystyle (b-12c).\) жоқ. Ол дегеніміз, \(\displaystyle (b-12c)\) нөл рет кездесті және, сәйкесінше, көбейтіндіде ол нөлдік дәрежеде тұр:
\(\displaystyle (a+b)^{21}\cdot (xc)^{11}=(a+b)^{21}\cdot (b-12c)^{ 0}\cdot (xc)^{ 11}.\)
Осылайша,
\(\displaystyle (xc)^{2}\cdot (a+b)^{3} \cdot (a+b)^{2}\cdot (xc)\cdot (a+b)^{16}\cdot (xc)^{8}= (a+b)^{21}\cdot (b-12c)^{ 0}\cdot (xc)^{ 11}.\)
Жауабы: \(\displaystyle (a+b)^{21}\cdot (b-12c)^{ 0}\cdot (xc)^{ 11}.\)
Нөлдік дәрежедегі нөлдік емес \(\displaystyle (b-12c)\) параметрінің болуының ресми дәлелі келесідей берілген.
\(\displaystyle (a+b)^{21}\cdot (xc)^{11}\) көбейтіндісінде
\(\displaystyle (a+b)\) және \(\displaystyle (xc)\) бар және \(\displaystyle (b-12c).\) жоқ. Кез келген нөлдік дәрежедегі нөлдік емес сан бірге тең болғандықтан,\(\displaystyle (b-12c)^{ 0}=1,\) , ендеше
\(\displaystyle (a+b)^{21}\cdot (xc)^{11}=(a+b)^{ 21}\cdot \color{red}{1}\cdot (xc)^{11}= (a+b)^{ 21}\cdot \color{red}{(b-12c)}^{ 0}\cdot (xc)^{11}.\)