Поверните устройство

Поверните устройство

Skip to main content

Теория: Свойства умножения и деления степеней (выражения)

Задание

Для любых чисел \(\displaystyle a,\, b,\, с\) и \(\displaystyle x\) найдите показатели степеней выражения, если \(\displaystyle (b-12c)\,\cancel{=}\, 0\):

\(\displaystyle (xc)^{2}\cdot (a+b)^{3} \cdot (a+b)^{2}\cdot (xc)\cdot (a+b)^{16}\cdot (xc)^{8} = \)

 

\(\displaystyle = (a+b)\)
\(\displaystyle \cdot \,\,(b-12c)\)
\(\displaystyle \cdot \,\,(xc)\)
Решение

Правило

Произведение степеней

Пусть \(\displaystyle a\) – число, \(\displaystyle n,\, m\) – натуральные числа, тогда

\(\displaystyle {\bf a^n\cdot a^m= a^{n+m}}.\)

Менее формально, при умножении степеней с одинаковыми основаниями показатели степеней складываются.

Сначала сгруппируем выражения с одинаковыми основаниями:

\(\displaystyle \begin{array}{c}(xc)^{2}\cdot (a+b)^{3} \cdot (a+b)^{2}\cdot (xc)\cdot (a+b)^{16}\cdot (xc)^{8}= \\= \color{blue}{(xc)}^{2} \cdot \color{red}{(a+b)}^{3} \cdot \color{red}{(a+b)}^{2}\cdot \color{blue}{(xc)}\cdot \color{red}{(a+b)}^{16}\cdot \color{blue}{(xc)}^{8}= \\= ({\color{red}{(a+b)}}^{3}\cdot {\color{red}{(a+b)}}^{2}\cdot {\color{red}{(a+b)}}^{16})\cdot ({\color{blue}{(xc)}}^{2}\cdot{\color{blue}{(xc)}}\cdot { \color{blue}{(xc)}}^{8}).\\\end{array}\)

Затем воспользуемся правилом сложения степеней:

\(\displaystyle ({\color{red}{(a+b)}}^{3}\cdot {\color{red}{(a+b)}}^{2}\cdot {\color{red}{(a+b)}}^{16})\cdot ({\color{blue}{(xc)}}^{2}\cdot {\color{blue}{(xc)}}\cdot {\color{blue}{(xc)}}^{8})={\color{red}{(a+b)}}^{3+2+16}\cdot {\color{blue}{(xc)}}^{2+1+8}=\)

\(\displaystyle ={\color{red}{(a+b)}}^{21}\cdot {\color{blue}{(xc)}}^{11}\)

 

В получившемся произведении присутствуют \(\displaystyle (a+b)\) и \(\displaystyle (xc)\), но нет \(\displaystyle (b-12c).\) Это означает, что \(\displaystyle (b-12c)\) встретилось ноль раз и, следовательно, в произведении оно стоит в нулевой степени:

\(\displaystyle (a+b)^{21}\cdot (xc)^{11}=(a+b)^{21}\cdot (b-12c)^{ 0}\cdot (xc)^{ 11}.\)

Таким образом,

\(\displaystyle (xc)^{2}\cdot (a+b)^{3} \cdot (a+b)^{2}\cdot (xc)\cdot (a+b)^{16}\cdot (xc)^{8}= (a+b)^{21}\cdot (b-12c)^{ 0}\cdot (xc)^{ 11}.\)

Ответ: \(\displaystyle (a+b)^{21}\cdot (b-12c)^{ 0}\cdot (xc)^{ 11}.\)

 

Замечание / комментарий

Формальное доказательство присутствия ненулевого параметра \(\displaystyle (b-12c)\) в нулевой степени дается следующим образом.

В произведении

\(\displaystyle (a+b)^{21}\cdot (xc)^{11}\)

присутствуют \(\displaystyle (a+b)\) и \(\displaystyle (xc)\) и нет \(\displaystyle (b-12c).\) Так как любое ненулевое число в нулевой степени равно единице, и поэтому \(\displaystyle (b-12c)^{ 0}=1,\) то

\(\displaystyle (a+b)^{21}\cdot (xc)^{11}=(a+b)^{ 21}\cdot \color{red}{1}\cdot (xc)^{11}= (a+b)^{ 21}\cdot \color{red}{(b-12c)}^{ 0}\cdot (xc)^{11}.\)