Поверните устройство

Поверните устройство

Skip to main content

Теория: 12 Возведение дроби в степень (разложение на множители)

Задание

Упростите выражение:

\(\displaystyle \left(\frac{x^2-y^2}{xy}\right)^2\cdot\left(\frac{x}{x-y}\right)^{2}=\)
\frac{(x+y)^2}{y^2}
Решение

Воспользуемся правилом

Правило

Возведение дроби в степень

Чтобы возвести дробь в степень, надо числитель и знаменатель возвести в эту степень.

\(\displaystyle \left(\frac{x}{y}\right)^{\color{red}{n}}= \frac{ x^{\color{red}{n}}}{ y^{\color{red}{n}} } \)

Получаем:

\(\displaystyle \left(\frac{x^2-y^2}{xy}\right)^{\color{green}2}\cdot\left(\frac{x}{x-y}\right)^{\color{blue}2}=\frac{(x^2-y^2)^{\color{green}2}}{(xy)^{\color{green}2}}\cdot\frac{x^{\color{blue}2}}{(x-y)^{\color{blue}2}}\small.\)


Выполним умножение дробей:

\(\displaystyle \frac{(x^2-y^2)^{2}}{(xy)^{2}}\cdot\frac{x^{2}}{(x-y)^{2}}=\frac{x^2(x^2-y^2)^{2}}{(xy)^2(x-y)^{2}}\small.\)


Чтобы упростить выражение, разложим \(\displaystyle x^2-y^2\) на множители:

\(\displaystyle x^2-y^2=(x-y)(x+y)\small.\)


Подставляя, получаем:

\(\displaystyle \frac{x^2(x^2-y^2)^{2}}{(xy)^2(x-y)^{2}}=\frac{x^2((x-y)(x+y))^{2}}{(xy)^2(x-y)^{2}}\small.\)


Раскроем скобки:

\(\displaystyle \frac{x^2((x-y)(x+y))^{2}}{(xy)^2(x-y)^{2}}=\frac{x^2(x-y)^2(x+y)^{2}}{x^2y^2(x-y)^{2}}\small.\)


Сокращая, получаем:

\(\displaystyle \frac{\cancel{x^2}\cancel{(x-y)^2}(x+y)^{2}}{\cancel{x^2}y^2\cancel{(x-y)^{2}}}=\frac{(x+y)^{2}}{y^2}\small.\)

Ответ: \(\displaystyle \frac{(x+y)^{2}}{y^2}\small.\)