Поверните устройство

Поверните устройство

Skip to main content

Теория: Обратная теорема Виета и решение квадратного уравнения (в целых числах)

Задание

Используя обратную теорему Виета, найдите корни квадратного уравнения:

\(\displaystyle x^2-5x+(-2)\cdot 7=0{\small .}\)

\(\displaystyle x_1=\),

\(\displaystyle x_2=\).

Решение

Правило

Обратная теорема Виета

Если числа \(\displaystyle \color{red}{ x_1}\) и \(\displaystyle \color{red}{ x_2}\) такие, что 

\(\displaystyle \left\{\begin{aligned} \color{red}{ x_1}+\color{red}{ x_2}&=-b{ \small ,}\\[5px]\color{red}{ x_1}\cdot \color{red}{ x_2}&=c {\small ;}\end{aligned}\right. \)

то \(\displaystyle \color{red}{ x_1}\) и \(\displaystyle \color{red}{ x_2}\) корни квадратного уравнения \(\displaystyle x^2+bx+c=0{\small .}\)

Выделим в данном уравнении коэффициенты:

\(\displaystyle x^2-5x+(-2)\cdot 7= x^2 \color{green}{ -5}x+\color{blue}{ (-2)\cdot 7} {\small .}\)

Тогда \(\displaystyle \color{green}{ b}= \color{green}{ -5}{ \small ,}\) а \(\displaystyle \color{blue}{ c}=\color{blue}{(-2)\cdot 7}{\small .}\)

Из равенства \(\displaystyle \color{blue}{ c}=\color{blue}{ (-2)\cdot 7}\) можно предположить, что \(\displaystyle x_1=-2\) и \(\displaystyle x_2=7{\small .}\)

Проверим, удовлетворяют ли данные числа обратной теореме Виета.

Действительно, числа \(\displaystyle \color{red}{ -2}\) и \(\displaystyle \color{red}{ 7 }\) такие, что

\(\displaystyle \left\{\begin{aligned} \color{red}{ (-2)}+\color{red}{ 7}&=-(\color{green}{ -5}){ \small ,}\\[5px]\color{red}{ (-2)}\cdot \color{red}{ 7}&=\color{blue}{ (-2)\cdot 7} {\small.}\end{aligned}\right. \)

Значит, по обратной теореме Виета \(\displaystyle \color{red}{ -2}\) и \(\displaystyle \color{red}{ 7 }\) – корни квадратного уравнения

\(\displaystyle x^2-5x+(-2)\cdot 7=0{\small .} \)


Ответ: \(\displaystyle -2\) и \(\displaystyle 7{\small .} \)