Через точку \(\displaystyle A\) окружности проведены касательная \(\displaystyle AC\) и хорда \(\displaystyle AB\) (см. рисунок). Найдите угол \(\displaystyle BAC{\small ,}\) если дуга \(\displaystyle AB\) равна \(\displaystyle 126^{\circ}{\small .}\) Ответ дайте в градусах.
Обозначим через \(\displaystyle O\) центр окружности и проведем диаметр \(\displaystyle AD{\small . }\)
Поскольку дуга \(\displaystyle ABD\) является полуокружностью, то ее градусная мера составляет \(\displaystyle 180^{\circ}{\small . }\)
Тогда
\(\displaystyle \overset{\smile}{\color{blue}{BD}} = \overset{\smile}{{ABD}} -\overset{\smile}{\color{green}{AB}}=180^{\circ}-126^{\circ}=54^{\circ}{\small .} \)
По свойству
Величина вписанного угла
Величина вписанного угла равна половине дуги, на которую опирается.
получаем:
\(\displaystyle \angle BAD=\frac{ 1}{ 2 }\overset{\smile}{\color{blue}{BD}} = \frac{ 1}{ 2 } \cdot 54=27^{\circ}{\small .} \)
По свойству касательной к окружности
Свойство касательной к окружности
Касательная к окружности перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания.
получаем:
\(\displaystyle \angle CAO=90^{\circ}{\small .} \)
Тогда
\(\displaystyle \angle BAC=\angle CAO -\angle BAO =90^{\circ}-27^{\circ}=63^{\circ} {\small .}\)
Ответ: \(\displaystyle 63 {\small .}\)
Изучение связи между углом \(\displaystyle \angle BAC\) и дугой \(\displaystyle AB \) позволяет получить следующую формулу для величины угла между касательной и хордой:
Угол между касательной и хордой
Величина угла между касательной и хордой, проходящей через точку касания, равна половине угловой меры заключенной между ними дуги.
\(\displaystyle \angle BAC =\frac{1}{2} \overset{\smile}{\color{green}{AB}} \)