Высота цилиндра равна \(\displaystyle 5{\small ,}\) а диагональ \(\displaystyle BD\) его осевого сечения \(\displaystyle ABCD\) равна \(\displaystyle 13{\small .}\) Найдите площадь боковой поверхности \(\displaystyle {S_{бок}}{\small }\) цилиндра. В ответе укажите\(\displaystyle \frac{S_{бок}}{\pi}{\small .}\)
По условию
Требуется найти площадь боковой поверхности цилиндра \(\displaystyle S_{бок}{\small .}\) |
|
Площадь боковой поверхности цилиндра можно найти, зная две величины: радиус основания \(\displaystyle r\) и высоту \(\displaystyle h{\small .}\)
Площадь боковой поверхности цилиндра
| \(\displaystyle S_{бок}=\color{Magenta}{2\pi r}\cdot \color{Blue}{h} { \small } \) |  |
Высота цилиндра дана. Найдём радиус основания.
Рассмотрим осевое сечение цилиндра.
Воспользуемся следующим фактом:
Осевое сечение цилиндра является прямоугольником. При этом:
- две противоположные стороны прямоугольника – образующие цилиндра,
- две другие стороны прямоугольника – диаметры оснований цилиндра.
Таким образом, четырёхугольник \(\displaystyle ABCD{\small }\) является прямоугольником.
Его смежные стороны – это диаметр основания цилиндра \(\displaystyle AD\) и образующая цилиндра \(\displaystyle AB{\small .}\)
\(\displaystyle AD=2r{\small .}\)
\(\displaystyle AB=5{\small .}\) |
Диаметр \(\displaystyle AD{\small,}\) а, значит, и радиус основания цилиндра найдём из прямоугольного треугольника \(\displaystyle ABD {\small .}\)
\(\displaystyle BD=13\) является гипотенузой прямоугольного треугольника \(\displaystyle ABD \) с катетами \(\displaystyle AD=2r{\small }\) и \(\displaystyle AB=5{\small .}\)
По теореме Пифагора \(\displaystyle BD^2=AD^2+AB^2{ \small,} \) \(\displaystyle 13^2=(2r)^2+5^2{ \small ,} \) \(\displaystyle 169=4r^2+25{ \small .}\) \(\displaystyle 4r^2=144{ \small .}\) \(\displaystyle r^2=36{ \small .}\) Отсюда \(\displaystyle r=6\) или \(\displaystyle r=-6{ \small .}\) |  |
Но радиус основания цилиндра, как длина отрезка, может принимать только положительные значения.
Поэтому:
\(\displaystyle r =6{ \small .} \)
Итак, радиус цилиндра \(\displaystyle r\) равен \(\displaystyle 6{ \small ,}\) высота цилиндра \(\displaystyle h{\small }\) дана по условию и равна \(\displaystyle 5{ \small .}\)
Подставим эти значения в формулу площади боковой поверхности:
\(\displaystyle S_{бок}=2\pi r \cdot h{\small .}\)
Получим:
\(\displaystyle S_{бок}=2\pi \cdot 6 \cdot 5=60\pi{\small .}\)
В ответе требуется указать \(\displaystyle \frac{S_{бок}}{\pi}{\small ,}\) то есть \(\displaystyle 60{\small .}\)
Ответ: \(\displaystyle 60{\small .}\)