Доказательство.

Докажем, что

\(\displaystyle \frac{AС}{\sin B}=2R.\)

Если угол \(\displaystyle B\) прямой, то тогда \(\displaystyle {\sin B}=1,\) \(\displaystyle {CA}\) является диаметром, и равенство выполняется.

Если угол \(\displaystyle B\) не является прямым, то проведем диаметр \(\displaystyle AD\) и хорду \(\displaystyle DC.\)

Допустим, угол \(\displaystyle B\) острый.

Вписанные углы \(\displaystyle ABC\) и \(\displaystyle ADC\) опираются на одну дугу, а значит равны. Тогда 

\(\displaystyle \sin D=\sin B.\)

Поскольку вписанный угол, опирающийся на диаметр, - прямой, то треугольник \(\displaystyle ADC\) прямоугольный.

В прямоугольном треугольнике \(\displaystyle ADC\) 

\(\displaystyle \sin D=\frac{AC}{AD}.\)

Тогда 

\(\displaystyle \sin B=\frac{AC}{2R},\)

\(\displaystyle \frac{AС}{\sin B}=2R.\)

Рассмотрим случай, когда угол \(\displaystyle B\) тупой.

Четырехугольник \(\displaystyle ABCD\) вписан в окружность. 

По свойству вписанного четырехугольника, 

\(\displaystyle \angle ABC+\angle ADC=180^{\circ}.\)

Тогда

\(\displaystyle \angle ADC=180^{\circ}-\angle ABC.\)

По формуле привидения, 

\(\displaystyle \sin D=\sin (\angle ADC)=\sin (180^{\circ}-\angle ABC)=\sin (\angle ABC)=\sin B.\)

Поскольку вписанный угол, опирающийся на диаметр, - прямой, то треугольник \(\displaystyle ADC\) прямоугольный.

В прямоугольном треугольнике \(\displaystyle ADC\) 

\(\displaystyle \sin D=\frac{AC}{AD}.\)

Тогда 

\(\displaystyle \sin B=\frac{AC}{2R},\)

\(\displaystyle \frac{AС}{\sin B}=2R.\)

Два других соотношения 

\(\displaystyle \frac{BC}{\sin A}=2R\)   и   \(\displaystyle \frac{AB}{\sin C}=2R\)

доказываются аналогично.